Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

Теоре́ма о сво́йстве Дарбу́ (Д-сво́йстве) для непреры́вной фу́нкции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.

ФормулировкаПравить

Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке   Тогда существуют   такие, что

 

ЗамечанияПравить

  • Если функция   постоянна, то  
  • Теорема о свойстве Дарбу утверждает, что непрерывное отображение переводит любой отрезок в отрезок. Это свойство функции называется свойством Дарбу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрим, например, функцию   заданную формулой
     
Тогда функция   обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке  
  • Теорема Серпинского. Любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Свойство Дарбу для монотонных функцийПравить

Пусть функция   монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.

ОбобщениеПравить

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть   — дифференцируемая внутри области определения, то есть   и   а также дифференцируема справа в точке  :   и слева в точке  :   Тогда   является отрезком, замкнутым лучом или всей прямой (то есть замкнуто и связно).

См. такжеПравить