Тождество Брахмагупты — Фибоначчи

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи, называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта[1][2][3][4] — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами):

В терминах общей алгебры, это тождество означает, что множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения.

Пример:

ИсторияПравить

Впервые данное тождество было опубликовано в III веке н. э. Диофантом Александрийским в трактате «Арифметика» (книга III, теорема 19). Индийский математик и астроном Брахмагупта в VI веке, вероятно, независимо открыл и несколько обобщил тождество, добавив произвольный параметр  :

 

Брахмагупта описал тождество в трактате «Брахма-спхута-сиддханта»[en] («Усовершенствованное учение Брахмы», 628 год) и использовал для решения уравнения Пелля (ниже)

В Европе тождество впервые появилось в «Книге квадратов» (Liber quadratorum) Фибоначчи (1225 год).

Комплексное представлениеПравить

Пусть  комплексные числа. Тогда тождество Брахмагупты — Фибоначчи равносильно мультипликативному свойству комплексного модуля:

 

В самом деле, возведя обе части в квадрат, получаем:

 

или согласно определению модуля:

 

ПримененияПравить

Решение уравнения ПелляПравить

Как уже говорилось выше, Брахмагупта применял своё тождество (3), (4) при решении уравнения Пелля[5]:

 

где  натуральное число, не являющееся квадратом. Брахмагупта сначала подбирал начальное решение уравнения, затем записывал тождество в следующем виде[5]:

 

Отсюда видно, что если тройки   и   образуют решение уравнения x2 − Ay2 = k, то можно найти ещё одну тройку

 

и т. д., получая бесконечный ряд решений.

Общий метод решения уравнения Пелля, опубликованный в 1150 году Бхаскарой II (метод «чакравала»), также опирается на тождество Брахмагупты.

Разложение целого числа на сумму двух квадратовПравить

В сочетании с теоремой Ферма — Эйлера, тождество Брахмагупты — Фибоначчи показывает, что произведение квадрата целого числа на любое количество простых чисел вида   представимо в виде суммы квадратов.

Вариации и обобщенияПравить

Изначально тождество применялось к целым числам, однако оно справедливо в любом коммутативном кольце или в поле, например, в кольце многочленов или в поле комплексных чисел.

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи представляет собой частный случай тождества четырёх квадратов Эйлера или тождества Лагранжа (теория чисел)[en]. Тождество четырёх квадратов применимо также к кватернионам, а аналогичное тождество восьми квадратов — к октонионам.

ПримечанияПравить

  1. Brahmagupta-Fibonacci Identity
  2. Marc Chamberland: Single Digits: In Praise of Small Numbers. Princeton University Press, 2015, ISBN 9781400865697, p. 60
  3. Stillwell, 2002, p. 76
  4. Шенкс, Дэниел, Solved and unsolved problems in number theory, p.209, American Mathematical Society, Fourth edition 1993.
  5. 1 2 История математики, том I, 1970, с. 195.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить