Тождество Уорда — Такахаши

Тождество Уорда — Такахаши (в квантовой теории поля) — это тождество между корреляционными функциями, которое следует из глобальной или калибровочной симметрии теории и которое выполняется после перенормировки.

Тождество Уорда — Такахаши в квантовой электродинамике (КЭД) первоначально использовалось Джоном Клайвом Уордом[1] и Ясуси Такахаси[2] для того, чтобы связать перенормировку волновой функции электрона с его вершинным коэффициентом перенормировки, гарантируя устранение ультрафиолетовой расходимости во всех порядках теории возмущений. Более поздние варианты использования включают распространение доказательства теоремы Голдстоуна на все порядки теории возмущений.

В более общем смысле, тождество Уорда — Такахаши представляет собой квантовую версию классического закона сохранения тока, связанного с непрерывной симметрией по теореме Нётер. Такие симметрии в квантовой теории поля (почти) всегда приводят к появлению этих обобщённых тождеств Уорда — Такахаши, которые налагают симметрию на уровень квантово-механических амплитуд. Есть обобщённые соотношения, которые следует отличать при чтении литературы, такой как учебник Майкла Пескина и Дэниела Шредера[3], от оригинального тождества Уорда — Такахаши.

Подробное обсуждение ниже касается КЭД, абелевой теории, к которой применимо тождество Уорда — Такахаши. Эквивалентными тождествами для неабелевых теорий, таких как квантовая хромодинамика (КХД), являются тождества Славнова — Тейлора.

Тождество Уорда — Такахаши

править

Тождество Уорда — Такахаши применяется к корреляционным функциям в импульсном пространстве, которые не обязательно имеют все свои внешние импульсы на оболочке. Пусть

 

корреляционная функция КЭД, включающая внешний фотон с импульсом k (где   — вектор поляризации фотона и подразумевается суммирование по  ), n электронов в начальном состоянии с импульсами  , и n электронов конечного состояния с импульсами  . Также по определению   — это более простая амплитуда, полученная удалением фотона с импульсом k из нашей исходной амплитуды. Тогда тождество Уорда — Такахаши гласит:

 
 

где e — заряд электрона имеет отрицательный знак. Обратите внимание, что если   имеет внешние электроны на оболочке, то каждая амплитуда в правой части этого тождества имеется по одной внешней частице вне оболочки, и поэтому они не вносят вклада в элементы S-матрицы.

Тождество Уорда

править

Тождество Уорда представляет собой специализацию тождества Уорда — Такахаши на элементах S-матрицы, которые описывают физически возможные процессы рассеяния и, таким образом, имеют все свои внешние частицы на оболочке. Пусть   — амплитуда некоторого процесса КЭД с участием внешнего фотона с импульсом  , где   — вектор поляризации фотона. Затем тождество Уорда гласит:

 

Физически это тождество означает, что продольная поляризация фотона, возникающая в ξ-калибровке, нефизична и исчезает из S-матрицы.

Его использование включает ограничение тензорной структуры поляризации вакуума и электронной вершинной функции в КЭД.

Вывод в формулировке интеграла по траекториям

править

В формулировке интеграла по траекториям тождества Уорда — Такахаши являются отражением инвариантности функциональной меры относительно калибровочного преобразования. Точнее, если   представляет собой калибровочное преобразование с помощью   (и это справедливо даже в том случае, когда физическая симметрия системы глобальна или даже отсутствует; нас здесь беспокоит только инвариантность функциональной меры), тогда

 

выражает инвариантность функциональной меры, где   — действие и   — функционал полей. Если калибровочное преобразование соответствует глобальной симметрии теории, то

 

для некоторого тока J (как функционала от полей  ) после интегрирования по частям и предположения, что поверхностными членами можно пренебречь.

Тогда тождества Уорда — Такахаши записываются в виде

 

Это КТП-аналог уравнения неразрывности Нётер  .

Если калибровочное преобразование соответствует фактической калибровочной симметрии, то

 

где   — калибровочно-инвариантное действие и   — некалибровочно-инвариантный вклад, фиксирующий калибровку.

Но обратите внимание, что даже если глобальной симметрии нет (то есть симметрия нарушена), у нас всё равно есть тождество Уорда — Такахаши, описывающее скорость несохранения заряда.

Если функциональная мера не является калибровочно-инвариантной, но удовлетворяет соотношению

 

где   — некоторый функционал полей  , то имеется аномальное тождество Уорда — Такахаши, например, когда у поля есть киральная аномалия.

Примечания

править
  1. Ward, John Clive (1950). "An Identity in Quantum Electrodynamics". Physical Review. 78 (2). Bibcode:1950PhRv...78..182W. doi:10.1103/PhysRev.78.182.
  2. Takahashi, Yasushi (1957). "On the generalized ward identity". Il Nuovo Cimento. 6 (2): 371—375. Bibcode:1957NCim....6..371T. doi:10.1007/BF02832514.
  3. Peskin, Michael E. An Introduction to Quantum Field Theory / Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder. — Westview Press, 1995. — ISBN 978-0-201-50397-5.