Уравнение Швингера — Томонаги

Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения, обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей $\Psi [\sigma ]$. Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:

$i\hbar {\frac {\delta \Psi [\sigma ]}{\delta \sigma (x)}}={\mathcal {H}}(x)\Psi [\sigma ],$

где ${\mathcal {H}}(x)$ — плотность гамильтониана

$H(t)=\int {\mathcal {H}}(x)d^{3}\mathbf {x} .$

$x=(x^{0},\mathbf {x} )$ — координата в пространстве Минковского $\mathbb {R} ^{1,3}$. Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:

$i\hbar {\frac {\delta \rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)}}=[{\mathcal {H}}(x),\rho [\sigma ]].$

Пространственноподобные гиперповерхности $\sigma$ определяются трёхмерным многообразием в $\mathbb {R} ^{1,3}$, которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке $x\in \sigma$ гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор

$n_{\mu }(x)n^{\mu }(x)=1,$

являющийся времениподобным

$n^{0}(x)\geqslant 1.$

Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени. Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности $\sigma$ координатами $\mathbf {x}$ трёхмерного пространства $\mathbb {R} ^{3}$, тогда точки $x\in \sigma$ могут быть представлены в виде $x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )$. Таким образом, каждая точка $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$ имеет собственную переменную времени $x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )$.

Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги

Рассмотрим точку $x\in \sigma$ и варьированную гиперповерхность $\sigma +\delta \sigma$, отличную от $\sigma$ лишь в некоторой окрестности $O_{x}$ точки $x$. Через $\Omega (x)$ обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между $\sigma$ и $\sigma +\delta \sigma$. Тогда функциональная производная ${\frac {\delta }{\delta \sigma (x)}}$ произвольного функционала $F[\sigma ]$, приставляющем собой отображение из множества гиперповерхностей в вещественные числа, определяется следующим образом

${\frac {\delta F[\sigma ]}{\delta \sigma (x)}}={\underset {\Omega (x)\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {F[\sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\Omega (x)}}.$

Решение уравнения Швингера — Томонаги

Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как

$\rho (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\rho (\sigma _{0})U^{\dagger }(\sigma ,\sigma _{0}),$

где $U(\sigma ,\sigma _{0})$ — унитарный оператор эволюции, имеющий вид

$U(\sigma ,\sigma _{0})=\mathrm {Texp} \left[-i\hbar \int _{\sigma _{0}}^{\sigma }{\mathcal {H}}(x)d^{4}x\right],$

где $\mathrm {Texp}$ — упорядоченная по времени экспонента. $\rho (\sigma _{0})$ — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности $\sigma _{0}$ . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как

$\Psi (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\Psi (\sigma _{0}),$

где $\Psi (\sigma _{0})$ — начальная волновая функция.

Необходимое условие интегрируемости

Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости, требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности $\sigma$:

${\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)}}-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)}}=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .$

Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана ${\mathcal {H}}(x)$. Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов

$[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)]=0,\qquad (x-y)^{2}<0.$

Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:

${\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)}}-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)}}=[[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)],\rho [\sigma ]]=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .$

Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.

Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера

Расслоение пространства $\mathbb {R} ^{1,3}$ определяется гладким однопараметрическим семейством

${\mathcal {F}}=\{\sigma (\tau )\}$

состоящим из пространноподобных гиперповерхностей $\sigma (\tau )$ с тем свойством, что каждая точка $x\in \mathbb {R} ^{1,3}$ принадлежит одной и только одной гиперповерхности $\sigma (\tau )$:

$\forall x\in \mathbb {R} ^{1,3}\;\exists !\tau \in \mathbb {R} :x\in \sigma (\tau ).$

Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке $x$ как $\sigma _{x}$. Фиксированное расслоение ${\mathcal {F}}$ порождает семейство векторов-состояний

$|\Psi (\tau )\rangle =\Psi (\sigma (\tau )).$

Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме

$|\Psi (\tau )\rangle =|\Psi (0)\rangle -i\hbar \int _{\sigma _{0}}^{\sigma (\tau )}{\mathcal {H}}(x)\Psi (\sigma _{x})d^{4}x.$

Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью $\sigma _{0}=\sigma (0)$ и гиперповерхностью $\sigma (\tau )$ семейства, которое всецело лежит в будущем $\sigma _{0}$.

Пусть гиперповерхности $\sigma (\tau )$ могут быть определены неявным выражением

${\tilde {f}}(x,\tau )=0,$

где ${\tilde {f}}(x,\tau )$ — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали

$n_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt {{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x_{\mu }}}}}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x^{\mu }}}.$

Для удобство нормируем функцию $f(x,\tau )=0$ определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали

$n_{\mu }(x)={\frac {\partial f(x,t)}{\partial x^{\mu }}}.$

Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний

${\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\int _{\sigma (\tau )}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)|\Psi (\tau )\rangle d\sigma (x),$

где интегрирование выполняется по гиперповерхности $\sigma (\tau )\in {\mathcal {F}}$. Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом

$\int _{\sigma (\tau )}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)d\sigma (x)=\int _{\sigma (\tau )}\left|n_{0}{\frac {\partial x_{0}}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)d\sigma (x)=H(\tau )$

уравнение движения для векторов-состояния примет вид

$i\hbar {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =H(\tau )|\Psi (\tau )\rangle .$

Историческая справка

Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность, связанная с тем, что в формализме квантовой механики время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.

Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность $\sigma$.

Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.

Литература

• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В . Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 600 с. — ISBN 978-5-93972-774-7.
• Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. . Теория открытых квантовых систем / Пер. с англ. под ред. Ю. И. Богданова. — М. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-93972-774-7.
• Прохоров А. М. (ред.). Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.