Уравнение Швингера — Томонаги

Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения[1], обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей . Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:[2]

где  — плотность гамильтониана

 — координата в пространстве Минковского . Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:[3]

Пространственноподобные гиперповерхности определяются трёхмерным многообразием в , которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор

являющийся времениподобным

Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени.[3] Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности координатами трёхмерного пространства , тогда точки могут быть представлены в виде . Таким образом, каждая точка имеет собственную переменную времени .

Функциональная производная в уравнении Швингера — ТомонагиПравить

Рассмотрим точку   и варьированную гиперповерхность  , отличную от   лишь в некоторой окрестности   точки  . Через   обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между   и  . Тогда функциональная производная   произвольного функционала  , приставляющем собой отображение из множестве гиперповерхностей в вещественные числа, определяется[4] следующим образом[5]

 

Решение уравнения Швингера — ТомонагиПравить

Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как[6]

 

где   — унитарный оператор эволюции, имеющий вид

 

где   — упорядоченная по времени экспонента.   — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности   . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как

 

где   — начальная волновая функция.

Необходимое условие интегрируемостиПравить

Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости[6], требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности  :

 

Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана  . Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов

 

Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:

 

Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.

Расслоение пространства-времени и уравнение ШрёдингераПравить

Расслоение пространства   определяется[7] гладким однопараметрическим семейством

 

состоящим из пространноподобных гиперповерхностей   с тем свойством, что каждая точка   принадлежит одной и только одной гиперповерхности  :

 

Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке   как  . Фиксированное расслоение   порождает семейство векторов-состояний

 

Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме

 

Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью   и гиперповерхностью   семейства, которое всецело лежит в будущем  .

Пусть гиперповерхности   могут быть определены неявным выражением

 

где   — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали

 

Для удобство нормируем функцию   определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали

 

Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний

 

где интегрирование выполняется по гиперповерхности  . Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом

 

уравнение движения для векторов-состояния примет вид

 

Историческая справкаПравить

Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность,[1] связанная с тем, что в формализме квантовой механики[8] время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.

Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность  .

Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Прохоров, 1992, ТОМОНАГА - ШВИНГЕРА УРАВНЕНИЕ.
  2. Боголюбов и Ширков, 1984, с. 397.
  3. 1 2 Бройер и Петруччионе, 2010, с. 620.
  4. Такое определение требует, чтобы он был определён не только на пространственнопдобных гиперповерхностях, но и на их достаточно малых вариациях.
  5. Боголюбов и Ширков, 1984, с. 400.
  6. 1 2 Бройер и Петруччионе, 2010, с. 622.
  7. Бройер и Петруччионе, 2010, с. 623.
  8. А также в исходном для неё формализмк классической гамильтоновой механики.

ЛитератураПравить

  • Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В . Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 600 с. — ISBN 978-5-93972-774-7.
  • Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. . Теория открытых квантовых систем / Пер. с англ. под ред. Ю. И. Богданова. — М. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-93972-774-7.
  • Прохоров А. М. (ред.). Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.