Открыть главное меню

Разбие́ние числа́  — это представление в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. В канонической записи разбиения части перечисляются в невозрастающем порядке.

Число разбиений натурального числа является одним из фундаментальных объектов изучения в теории чисел.

Содержание

ПримерыПравить

Например, {3, 1, 1} или {3, 2} — разбиения числа 5, поскольку 5 = 3 + 1 + 1 = 3 + 2. Всего существует   разбиений числа 5: {1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1}, {3, 1, 1}, {3, 2}, {4, 1}, {5}.

Некоторые значения числа разбиений   приведены в следующей таблице[1]:

n p(n) Разбиения
1 1 {1}
2 2 {1, 1}, {2}
3 3 {1, 1, 1}, {2, 1}, {3}
4 5 {1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1}, {2, 2}, {3, 1}, {4}
5 7 {1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1}, {3, 1, 1}, {3, 2}, {4, 1}, {5}
6 11
7 15
8 22
9 30
10 42
20 627
50 204 226
100 190 569 292
1000 24 061 467 864 032 622 473 692 149 727 991

Число разбиенийПравить

Производящая функцияПравить

Последовательность числа разбиений   имеет следующую производящую функцию:

 

Эта формула была открыта Эйлером в 1740 году.

Пентагональная теорема ЭйлераПравить

Изучая производящую функцию последовательности  , Эйлер сосредоточил внимание на её знаменателе, то есть, на произведении  . Это бесконечное произведение при раскрытии скобок приобретает следующий вид:

 

Показатели степеней   в правой части — числа вида   где   — целое число, а знак при   равен  . Для натуральных  :   — это пятиугольные числа.[2]

Согласно этому наблюдению, Эйлер предположил, что должна быть верна Пентагональная теорема:

  .

Впоследствии эта теорема была доказана Эйлером. Она позволяет вычислять числа разбиений при помощи деления формальных степенны́х рядов.

Асимптотические формулыПравить

Асимптотическое выражение для количества разбиений было получено Харди и Рамануджаном в 1918 году и независимо от них российским математиком Успенским в 1920 году:[3]

  при  

Это выражение даёт, например,  .

Впоследствии Харди и Рамануджан нашли более точное выражение в виде суммы, и, наконец, Радемахер нашел для асимптотического представления числа разбиений сходящийся ряд.

 

где

 

Здесь суммирование ведётся по  , взаимно простым с  , а   — сумма Дедекинда. Ряд сходится очень быстро.

Рекуррентные формулыПравить

Количество разбиений числа   на слагаемые, не превышающие  , удовлетворяет рекуррентной формуле:

 

с начальными значениями:

 
  для всех  

При этом количество всевозможных разбиений числа   равно  .

Диаграммы ЮнгаПравить

 
Диаграмма Юнга разбиения 10 = 5 + 4 + 1.

Разбиения удобно представлять в виде наглядных геометрических объектов, называемых диаграммами Юнга, в честь английского математика Альфреда Юнга[en]. Диаграмма Юнга разбиения   — подмножество первого квадранта плоскости, разбитое на ячейки, каждая из которых представляет собой единичный квадрат. Ячейки размещаются в строки, первая строка имеет длину  , над ней расположена строка длиной  , и т. д. до  -й строки длины  . Строки выровнены по левому краю.

Более формально, диаграмма Юнга — это замыкание множества точек   таких, что

  и  

где   обозначает целую часть  .

В англоязычной литературе диаграммы Юнга часто изображают отражёнными относительно оси абсцисс.

Схожий объект, называемый диаграммой Феррерса, отличается тем, что

  • вместо ячеек изображаются точки;
  • диаграмма транспонируется: ряды и столбцы меняются местами.

ПрименениеПравить

Разбиения естественным образом возникают в ряде математических задач. Наиболее значимой из них является теория представлений симметрической группы, где разбиения естественно параметризуют все неприводимые представления. Суммы по всем разбиениям часто встречаются в математическом анализе.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Последовательность A000041 в OEIS
  2. Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-94057-731-7.
  3. Uspensky, Asymptotic Formulae for Numerical Functions Which Occur in the Theory of Partitions, Bull. Acad. Sci. URSS 14, 1920, S. 199–218

ЛитератураПравить