Шершавое многообразие

Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.

Примеры

• E₈-многообразие
• Возьмём $4k$-мерное многообразие Милнора $W^{4k}$, $k>1$; $W^{4k}$ параллелизуемо, его сигнатура равна $8$, и его край $M=\partial W^{4k}$ гомотопически эквивалентен сфере $S^{4k-1}$. Подклейка к $W^{4k}$ конуса $C(M)$ к $\partial W^{4k}$ приводит к пространству $P^{4k}$. При этом, так как $M$ есть кусочно-линейная сфера (см. обобщенная гипотеза Пуанкаре), то $C(M)$ кусочно-линейный шар, так что $P^{4k}$ — кусочно-линейное многообразие. С другой стороны, $P^{4k}$ есть шершавое многообразие, так как его сигнатура равна 8, а сигнатура гладкого почти параллелизуемого (то есть параллелизуемого после выкалывания точки) $4k$-мерного многообразия кратна числу $\sigma _{k}$, экспоненциально растущему с ростом $k$.
  • В частности, из этого следует, что многообразие $M$ не диффеоморфно сфере $S^{4k-1}$.

Критерий сглаживаемости кусочно-линейного многообразия

Пусть $O_{n}$ — ортогональная группа, a $PL_{n}$ — группа сохраняющих начало кусочно-линейных гомеоморфизмов $\mathbb {R} ^{n}$. Включение $O_{n}\to PL_{n}$ индуцирует расслоение $BO_{n}\to BPL_{n}$, где $BG$ — классифицирующее пространство группы $G$. При $n\to \infty$ получается расслоение $p:BO_{n}\to BPL_{n}$, слой которого обозначается через $M/O$.
Кусочно-линейное многообразие $X$ обладает линейным стабильным нормальным расслоением $\nu$, классифицируемым отображением $\nu :X\to BPL_{n}$.
Если же $X$ является гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением ${\bar {\nu }}$, классифицируемым отображением ${\bar {\nu }}:X\to BO_{n}$, причем $p\circ {\bar {\nu }}=\nu$. Это условие также и достаточно, то есть

• Замкнутое кусочно-линейное многообразие $X$ сглаживаемо тогда и только тогда, когда его кусочно-линейное стабильное нормальное расслоение допускает векторную редукцию, то есть когда отображение $\nu :X\to BPL_{n}$ «поднимается» в $BO_{n}$ (то есть существует такое ${\bar {\nu }}:X\to BO_{n}$, что $p\circ {\bar {\nu }}=\nu$).

См. также

• Сфера Милнора

Литература

• Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы, пер. с англ., — М., 1979.
• Kervaire M. «Comment, math, helv.», 1960, t. 34, p. 257—70;