Открыть главное меню

Шершавое или несглаживаемое многообразие — топологическое многообразие, не допускающее гладкой структуры. Более точно, топологическое многообразие не гомеоморфное никакому гладкому многообразию.

ПримерыПравить

  • E8-многообразие
  • Возьмём  -мерное многообразие Милнора  ,  ;   параллелизуемо, его сигнатура равна  , и его край   гомотопически эквивалентен сфере  . Подклейка к   конуса   к   приводит к пространству  . При этом, так как   есть кусочно-линейная сфера (см. обобщенная гипотеза Пуанкаре), то   кусочно-линейный шар, так что   — кусочно-линейное многообразие. С другой стороны,   есть шершавое многообразие, так как его сигнатура равна 8, а сигнатура гладкого почти параллелизуемого (то есть параллелизуемого после выкалывания точки)  -мерного многообразия кратна числу  , экспоненциально растущему с ростом  .
    • В частности, из этого следует, что многообразие   не диффеоморфно сфере  .

Критерий сглаживаемости кусочно-линейного многообразияПравить

Пусть   — ортогональная группа, a   — группа сохраняющих начало кусочно-линейных гомеоморфизмов  . Включение   индуцирует расслоение  , где   — классифицирующее пространство группы  . При   получается расслоение  , слой которого обозначается через  .
Кусочно-линейное многообразие   обладает линейным стабильным нормальным расслоением  , классифицируемым отображением  .
Если же   является гладким (сглаживаемым) многообразием, то оно обладает векторным стабильным нормальным расслоением  , классифицируемым отображением  , причем  . Это условие также и достаточно, то есть

  • Замкнутое кусочно-линейное многообразие   сглаживаемо тогда и только тогда, когда его кусочно-линейное стабильное нормальное расслоение допускает векторную редукцию, то есть когда отображение   «поднимается» в   (то есть существует такое  , что  ).

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы, пер. с англ., — М., 1979.
  • Kervaire M. «Comment, math, helv.», 1960, t. 34, p. 257—70;