5,5-дуопризма

Однородная 5,5-дуопризма Диаграмма Шлегеля
Тип	Однороданая дуопризма
Символ Шлефли	{5}×{5} = {5}2
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Ячейки	10 пятиугольных призм
Граней	25 квадратов, 10 пятиугольников
Рёбер	50
Вершин	25
Вершинная фигура	Равногранный тетраэдр
Симметрия	[[5,2,5]] = [10,2+,10], порядок 200
Двойственный многогранник	5,5-дуопирамида
Свойства	выпуклый, вершинно однороден, фасет-транзитивен

5,5-дуопризма (пятиугольная дуопризма) — многоугольная дуопризма, четырёхмерный многогранник, получающийся как результат прямого произведения двух пятиугольников.

Многогранник имеет 25 вершин, 50 рёбер, 35 граней (25 квадратов и 10 пятиугольников), в 10 пятиугольных призматических ячейках. Он имеет диаграмму Коксетера — Дынкина и симметрию [[5,2,5]] порядка 200.

Рисунки

Ортогональная проекция

Ортогональная проекция

Развёртка

Если рассматривать в косой двумерной ортогональной проекции, 20 вершин располагаются в двух десятиугольных кольцах, а 5 проецируются в центр. 5,5-дуопризма здесь имеет ту же двумерную проекцию, что и трёхмерный ромботриаконтаэдр. В этой проекции квадратные грани проецируются в широкие и узкие ромбы, наблюдаемые в мозаике Пенроуза.

5,5-дуопризма	Мозаика Пенроуза

Связанные комплексные многоугольники

Правильный комплексный многогранник $_{5}\{4\}_{2}$, , в $\mathbb {C} ^{2}$ имеет вещественное представление как 5,5-дуопризма в четырёхмерном пространстве. Многогранник $_{5}\{4\}_{2}$ имеет 25 вершин и 10 5-рёбер. Его группа симметрии, $_{5}[4]_{2}$, имеет порядок 50. Он имеет также построение с меньшей симметрией, , или $_{5}\{\}\times _{5}\{\}$, с симметрией $_{5}[2]_{5}$ порядка 25. Эта симметрия получается, если красные и синие 5-рёбра считать отличными.

Перспективная проекция комплексного многогранника $_{5}\{4\}_{2}$ имеет 25 вершин и 10 5-рёбер, показанных здесь как 5 красных и 5 синих пятиугольных 5-рёбер.

Ортогональная проекция с совпадающими центральными вершинами

Ортогональная проекция с перспективным отклонением, чтобы избежать наложения элементов

5,5-дуопирамида
Тип	Однородная двойственная дуопирамида
Символ Шлефли	{5}+{5} = 2{5}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Ячеек	25 равногранных тетраэдров
Граней	50 равнобедренных треугольников
Рёбер	35 (25+10)
Вершин	10 (5+5)
Симметрия	[[5,2,5]] = [10,2+,10], порядок 200
Двойственный многогранник	5,5-дуопризма
Properties	выпуклый, вершинно однороден, фасет-транзитивен

Связанные соты и многогранники

120-ячеечные соты порядка 5, , построенный из полноусечённых 600-ячеечников с 5,5-дуопризмой в качестве вершинной фигуры.

5,5-дуопирамида

Двойственный многогранник 5,5-дуопризмы называется 5,5-дуопирамидой или пятиугольной дуопирамидой. Он имеет 25 равногранных тетраэдраэдральных ячеек, 50 треугольных граней, 35 рёбер и 10 вершин.

Его можно видеть в ортогональной проекции как правильный 10 угольник вершин, разделённых на два пятиугольника:

Ортогональные проекции

Два пятиугольника в двойственных позициях

Два перекрывающихся пятиугольника

Связанные комплексные многоугольники

Правильный комплексный многоугольник $_{2}\{4\}_{5}$ имеет 10 вершин в $\mathbb {C} ^{2}$ с вещественным представлением в $\mathbb {R} ^{4}$ с тем же расположением вершин 5,5-дуопирамиды. Он имеет 25 2-рёбер, соответствующих соединяющим рёбрам 5,5-дуопирамиды, а 10 рёбер, соединяющих два пятиугольника не включаются. Вершины и рёбра образуют полный двудольный граф, в котором каждая вершина одного пятиугольника соединена с каждой вершиной другого.

Ортографическая проекция

$_{2}\{4\}_{5}$ с 10 вершинами (синие и красные), соединённые 25 2-рёбрами, образуя полный двудольный граф.

Литература

• Coxeter H. S. M. Regular Complex Polytopes. — Cambridge University Press, 1974.
• Coxeter H. S. M. Regular Polytopes. — New York: Dover Publications, Inc., 1973. — С. 124.
• Coxeter H. S. M. Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 0-486-40919-8.
  • Coxeter H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions // Proc. London Math. Soc.. — 1937. — Вып. 43. — С. 33—62.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 26 // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
• Norman Johnson. Uniform Polytopes. — 1991. — (Рукопись).
  • N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).

Ссылки

• The Fourth Dimension Simply Explained описывает дуопризмы как «двойные призмы» и дуоцилиндры как «двойные цилиндры»
• Polygloss — словарь терминов пространств высокой размерности
• Exploring Hyperspace with the Geometric Product