Алгебраически замкнутое поле

(перенаправлено с «Алгебраическое замыкание поля»)

Алгебраически замкнутое полеполе , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым. При этом существование алгебраического замыкания существенно зависит от аксиомы выбора: существуют модели теории множеств без аксиомы выбора, где есть поля, не обладающие алгебраическим замыканием.

Свойства

править
  • В алгебраически замкнутом поле   каждый многочлен степени   имеет ровно   (с учётом кратности) корней в  . Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов   имеет степень  . См. также теорема Безу.
  • Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен  , где   — количество элементов поля. Корнями данного многочлена являются все элементы поля. Если к нему прибавить  , то полученный многочлен не будет иметь корней.
  • Алгебраическим замыканием поля   в его расширении   называется поле всех алгебраических над   элементов  . Алгебраическое замыкание поля в алгебраически замкнутом поле является алгебраически замкнутым, и более того, его алгебраическим замыканием.
  • Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
  • Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
  • Алгебраическим замыканием конечного поля   является поле  .
  • Алгебраическое замыкание поля рациональных дробей   называется полем алгебраических функций. Элементы такого поля функциями в обычном смысле не являются, однако такое название довольно часто встречается в литературе.
  • Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Конструкция

править

Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.

Пусть задано поле  . Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.

Определим   как множество всех неприводимых многочленов над полем  . Каждому многочлену поставим в соответствие переменную  . Обозначим за   множество всех таких переменных  . Образуем кольцо многочленов  . Можно показать, что идеал  , порождённый всеми многочленами вида  , не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу  , содержающему идеал   (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле  . Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем  .

На поле   можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю   по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля   и получим поле  . Повторяя это   раз можно получить поле  . Таким образом, мы имеем башню полей:

 

Объединение всех этих полей даст поле  . Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.[1]

См. также

править

Примечания

править
  1. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.