Истинная аномалия

Истинная аномалия в небесной механике — угловой параметр, определяющий положение тела, движущегося по Кеплеровой орбите. Это угол между направлениями на перицентр и текущее положение тела, измеряемый из фокуса эллипса (точки, вокруг которой движется тело).

Истинная аномалия обычно обозначается греческими буквами ν или θ или латинской буквой f и обычно ограничивается до диапазона 0–360° (0–2π радиан).

Истинная аномалия точки P — угол f. Центр эллипса — точка C, фокус — точка F.

Истинная аномалия f — один из трёх угловых параметров (аномалий), определяющих положение тела на орбите. Другие два — эксцентрическая аномалия и средняя аномалия.

Формулы

Через векторы состояния

Для эллиптических орбит истинная аномалия ν может быть вычислена через орбитальные векторы состояния как:

$\nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}$

(если r ⋅ v < 0, следует заменить ν на 2π − ν)

где:

• v — вектор орбитальной скорости тела,
• e — вектор эксцентриситета,
• r — радиус-вектор тела (отрезок FP на рисунке).

Круговая орбита

Для круговых орбит истиная аномалия не определена, потому что у круговой орбиты нет однозначно определённого перицентра. Вместо этого используют аргумент широты u:

$u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}$

(если r_z < 0, следует заменить u на 2π − u)

где:

• n — вектор, направленный на восходящий узел (т. е. его z-компонента n равна нулю).
• r_z — z-компонента радиус-вектора r

Круговая орбита с нулевым наклонением

Для круговых орбит с нулевым наклонением аргумент широты также не определён, поскольку нет однозначно определённой линии узлов. Вместо этого используют истинную долготу:

$l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}$

(если v_x > 0, следует заменить l на 2π − l)

где:

• r_x — x-компонента радиус-вектора r
• v_x — x-компонента вектора скорости v.

Через эксцентрическую аномалию

Связь между истинной аномалией ν и эксцентрической аномалией $E$:

$\cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}$

или, используя синус и тангенс:

${\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}$

что эквивалентно:

$\tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}$,

то есть

$\nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)$.

В качестве альтернативы была получена форма этого уравнения, позволяющая избежать проблем при аргументах, близких к $\pm \pi$, когда оба тангенса стремятся к бесконечности. К тому же, поскольку ${\frac {E}{2}}$ и ${\frac {\nu }{2}}$ всегда лежат в одном квадранте, не будет никаких проблем со знаками.

$\tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}$, ге $\beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}$,

следовательно,

$\nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)$.

Через среднюю аномалию

Истинная аномалия может быть вычислена напрямую из средней аномалии $M$ с помощью ряда Фурье:

$\nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}$

с функцией Бесселя $J_{n}$ и параметром $\beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}$.

Опуская все члены порядка $e^{4}$ и выше (на это указывает $\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)$), это можно записать как

$\nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).$

Из соображений точности это приближение обычно ограничивается орбитами, где эксцентриситет $e$ мал.

Выражение $\nu -M$ называется уравнением центра.

Расстояние через истинную аномалию

Расстояние между фокусом и телом связано с истинной аномалией формулой

$r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!$,

где a — большая полуось орбиты.

См. также

• Законы Кеплера
• Эксцентрическая аномалия
• Средняя аномалия
• Эллипс
• Гипербола

Литература

• Murray, C. D. & Dermott, S. F., 1999, Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4
• Plummer, H. C., 1960, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York. OCLC 1311887 (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)

Ссылки

• Federal Aviation Administration - Describing Orbits