Квантовая вероятность

Квантовая вероятность (некоммутативная вероятность) — некоммутативный аналог классической (колмогоровской) теории вероятности и теории стохастических процессов.

Некоммутативным случайным процессом называется случайный процесс над C*-алгеброй B с множеством значений параметра $T$ как совокупность из C*-алгебры A, семейства ${J(t):t\in T}$ гомоморфизмов алгебры B в A и состояния $\omega$ на A.

Приведенное определение некоммутативного случайного процесса таково, что может использоваться в квантовой теории открытых систем. Оно может рассматриваться как некоммутативный аналог классического случайного процесса в смысле Дуба^[1] и Мейера^[2].

Исследования моделей открытых квантовых систем восходят к пионерской работе^[3] Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова 1939 года. Лежащие в основе стохастические структуры были открыты и изучены значительно позже. Главной трудностью оказался вопрос о правильном определении понятия квантового случайного процесса. Значительный прогресс в этом вопросе был связан с введением понятия квантовой динамической полугруппы, предложенного А. Коссаковским^[4]^[5]^[6], а затем развитого Г. Линдбладом^[7] (см. Уравнение Линдблада).

Квантовые динамические полугруппы являются некоммутативным обобщением полугруппы отображений операторов в теории марковских случайных процессов. Эта полугруппа описывает эволюцию квантовой системы, определяемую только настоящим состоянием системы, то есть эволюцию без памяти о прошлых состояниях. Такие полугруппы удовлетворяют дифференциальным уравнениям, которые являются некоммутативными обобщениями уравнений Фоккера — Планка или Колмогорова — Чепмена.

Квантовым (некоммутативным) вероятностным пространством называется пара (A, $\omega$ ), где A является *-алгеброй и $\omega$ является состоянием.

Это определение является обобщением вероятностного пространства в классической (колмогоровской) теории вероятностей^[8], в том смысле, что каждое классическое вероятностное пространство порождает квантовое вероятностное пространство, если в качестве A выбрана *-алгеброй ограниченных комплекснозначных измеримых функций.

Примечания править

↑ Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.
↑ Мейер П. А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973.
↑ Боголюбов Н. Н. Избранные труды в трех томах. Т. 2. — К.: «Наукова думка», 1970. — С. 5—76.
↑ Kossakowski A. «On quantum statistical mechanics of non-Hamiltonian systems» Rep. Math. Phys. Vol.3. (1972) pp.247-274.
↑ V. Gorini, A. Kossakowski, E.C.G. Sudarshan, «Completely positive dynamical semi-groups of N-level systems», J. Math. Phys. Vol.17. (1976) pp.821-825.
↑ Gorini V., Frigerio A., Verri M., Kossakowski A., Sudarshan E.C.G., «Properties of quantum markovian master equations», Rep. Math. Phys. Vol.13. (1978) pp.149-173.
↑ G. Lindblad, «On the generators of quantum dynamical semi-groups», Commum. Math. Phys. Vol.48. (1976) pp.119-130.
↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.: «Наука», 1974.

Литература править

Холево А. С. Квантовая вероятность и квантовая статистика. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1991, 83, стр.5-132. Архивная копия от 7 апреля 2012 на Wayback Machine
Сарымсаков Т. А. Введение в квантовую теорию вероятностей. Ташкент: Фан, 1985. 184 c.
Квантовые случайные процессы и открытые системы. Сост. Холево A. C. Сборник статей 1982—1984. Пер с англ. М.: Мир, 1988. 223с.
Аккарди Л. Диалоги о квантовой механике: Гейзенберг, Фейнман, Академус, Кандидо и хамелеон на ветке. РХД, 2004. 436 с. ISBN 5-93972-226-1
Accardi L., Lu Y.G., Volovich I.V. Quantum Theory and Its Stochastic Limit. — New York: Springer Verlag, 2002. (недоступная ссылка)
Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 528с.
Белавкин В. П. О генераторах квантовых стохастических эволюционных уравнений Теор. Мат. Физ. (1997) Том.110. N.1, стр.46-60. (недоступная ссылка)
Chebotarev A. M. Lectures on quantum probability Архивная копия от 2 апреля 2012 на Wayback Machine (2000) Sociedad Matematica Mexicana, A portaciones Matematicas, Ser. Textos 14, Mexico 2000.
Meyer P. A. Quantum probability for probabilists, Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1538. Springer-Verlag, Berlin, 1993.
Parthasarathy K. R. «An introduction to quantum stochastic calculus», Monographs in Mathematics, 85, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992.

См. также править

[1] Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

[2] Мейер П. А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973.

[3] Боголюбов Н. Н. Избранные труды в трех томах. Т. 2. — К.: «Наукова думка», 1970. — С. 5—76.

[4] Kossakowski A. «On quantum statistical mechanics of non-Hamiltonian systems» Rep. Math. Phys. Vol.3. (1972) pp.247-274.

[5] V. Gorini, A. Kossakowski, E.C.G. Sudarshan, «Completely positive dynamical semi-groups of N-level systems», J. Math. Phys. Vol.17. (1976) pp.821-825.

[6] Gorini V., Frigerio A., Verri M., Kossakowski A., Sudarshan E.C.G., «Properties of quantum markovian master equations», Rep. Math. Phys. Vol.13. (1978) pp.149-173.

[7] G. Lindblad, «On the generators of quantum dynamical semi-groups», Commum. Math. Phys. Vol.48. (1976) pp.119-130.

[8] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.: «Наука», 1974.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]