Кольцо дискретного нормирования

Кольцо дискретного нормирования — это кольцо, которое можно получить в результате дискретного нормирования некоторого поля выбором подмножества элементов с неотрицательной нормой. Такое кольцо можно определить множеством эквивалентных способов.

Кольцо дискретного нормирования — это целостное кольцо R, удовлетворяющее одному из следующих (эквивалентных) условий:

1) R — локальная область главных идеалов, не являющаяся полем.

2) R — локальное дедекиндово кольцо, не являющееся полем.

3) R — нётерово локальное кольцо, размерность Крулля которого равна единице, а единственный максимальный идеал — главный.

4) R — целозамкнутое одномерное нётерово локальное кольцо.

5) R — область главных идеалов с единственным ненулевым простым идеалом.

6) R — факториальное кольцо с единственным неразложимым элементом (с точностью до взятия ассоциированных).

7) Существует дискретное нормирование поля частных кольца R, такое что R совпадает со множеством элементов с неотрицательной нормой.

Примеры

• Обозначим $\mathbb {Z} _{(2)}=\{p/q\;|\;p,q\in \mathbb {Z} ,q\not \vdots \;2\}.$ Поле частных этого кольца — всё $\mathbb {Q} .$ Разложим числитель и знаменатель произвольного рационального $r$ на простые и представим его в виде $2^{k}p/q$ с нечётными $p,q$, положим $v(r)=k.$ Тогда $\mathbb {Z} _{(2)}$ — кольцо дискретного нормирования, соответствующее $v$. Заметим, что $\mathbb {Z} _{(2)}$ — локализация дедекиндова кольца $\mathbb {Z}$ по простому идеалу $(2)$. Оказывается, что локализация любого дедекиндова кольца по ненулевому простому идеалу — кольцо дискретного нормирования.
• В качестве более геометричного примера возьмём кольцо рациональных функций, знаменатель которых не равен нулю в нуле, то есть функций, которые определены в некоторой окрестности нуля. Такие функции образуют кольцо дискретного нормирования, единственный неприводимый элемент — функция $x$ (с точностью до взятия ассоциированных), а соответствующее нормирование рациональных функций — порядок нуля (возможно, нулевой или отрицательный) этой функции в нуле. Этот пример является стандартным для изучения алгебраической кривой в неособой точке; в данном случае, алгебраическая кривая — вещественная ось.
• Другой важный пример — кольцо формальных степенных рядов; здесь неприводимый элемент — ряд $x$, а нормирование — степень первого ненулевого коэффициента. Если ограничиться вещественными или комплексными коэффициентами, можно рассмотреть ряды, сходящиеся в некоторой окрестности нуля — это по-прежнему кольцо дискретного нормирования.
• Кольцо p-адических чисел $\mathbb {Z} _{p}$.

Топология

Любое кольцо дискретного нормирования естественным образом является топологическим кольцом, расстояние между элементами x и y задаётся следующим образом:

$|x-y|=2^{-\nu (x-y)}$

(вместо 2 можно взять любое действительное число >1). Интуитивно, элемент мал (близок к нулю), если его норма велика.

Кольцо дискретного нормирования компактно тогда и только тогда, когда оно полно и поле вычетов R/m (m — максимальный идеал) конечно.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Dummit, David S.; Fost2=Richard M. (2004), (3rd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7, MR 2286236 {{citation}}: |title= пропущен или пуст (справка); Игнорируется текст: "ote" (справка)Википедия:Обслуживание CS1 (числовые имена: authors list) (ссылка)