Односторонний предел

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Определения

Пусть на некотором числовом множестве $M\subset \mathbb {R}$ задана числовая функция $f\colon M\to \mathbb {R}$ и число $a$ — предельная точка области определения $M$. Существуют различные определения для односторонних пределов функции $f\left(x\right)$ в точке $a$, но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне

• Число $A\in \mathbb {R}$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $f\left(x\right)$ в точке $a$, если для всякой последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, состоящей из точек, больших числа $a$, которая сама сходится к числу $a$, соответствующая последовательность значений функции $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ сходится к числу $A$.

  $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}>a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$

• Число $A\in \mathbb {R}$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $f\left(x\right)$ в точке $a$, если для всякой последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, состоящей из точек, меньших числа $a$, которая сама сходится к числу $a$, соответствующая последовательность значений функции $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ сходится к числу $A$.

  $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}<a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$

Односторонний предел по Коши

• Число $A\in \mathbb {R}$ называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции $f\left(x\right)$ в точке $a$, если для всякого положительного числа $\varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta$ такое, что для всех точек $x$ из интервала $\left(a,a+\delta \right)$ справедливо неравенство $\left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$.

  $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a,a+\delta \right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$

• Число $A\in \mathbb {R}$ называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции $f\left(x\right)$ в точке $a$, если для всякого положительного числа $\varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta$, такое, что для всех точек $x$ из интервала $\left(a-\delta ,a\right)$ справедливо неравенство $\left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$.

  $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a-\delta ,a\right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$

Односторонний предел как предел вдоль фильтра

Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра. Пусть $M\subset \mathbb {R} ,$ и $a\in M'.$ Тогда системы множеств

${\mathfrak {B}}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}$

и

${\mathfrak {B}}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}$

являются фильтрами. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:

$\lim \limits _{{\mathfrak {B}}_{+}}f(x)\equiv \lim \limits _{x\to a+}f(x);$

$\lim \limits _{{\mathfrak {B}}_{-}}f(x)\equiv \lim \limits _{x\to a-}f(x).$

Обозначения

• Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

  $\lim \limits _{x\to a+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow a}f(x),\ \ \lim _{x\searrow a}f(x);$

• Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:

  $\lim \limits _{x\to a-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow a}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow a}f(x).$

• При этом используются также сокращённые обозначения:
  • $f\left(a+\right)$ и $f\left(a+0\right)$ для правого предела;
  • $f\left(a-\right)$ и $f\left(a-0\right)$ для левого предела.

• При $a=0$ для сокращения записи вместо $\lim \limits _{x\to 0+0}f(x)$ и $\lim \limits _{x\to 0-0}f(x)$ обычно пишут $\lim \limits _{x\to +0}f(x)$ и $\lim \limits _{x\to -0}f(x)$ соответственно.

Свойства

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

Примеры

Функция из второго примера

• Тождественная числовая функция
  • $f\left(x\right)=x$
  • Область определения: $\mathbb {R}$
  • Правый предел: $\forall a\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to a+0}x=a$
  • Левый предел: $\forall a\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to a-0}x=a$
  • Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел: $\forall a\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to a}x=a$
• Кусочно-заданная функция
  • $f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x<3\\11-\left(x-3\right)^{2},&x>3\end{cases}}$
  • Область определения: $\mathbb {R} \setminus \left\{3\right\}$
  • Правый предел: $\lim _{x\to 3+0}f\left(x\right)=11$
  • Левый предел: $\lim _{x\to 3-0}f\left(x\right)=9$
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке $x=3$ не существует
• Функция sgn(x)
  • $f\left(x\right)={\begin{cases}0,&x=0\\{\frac {x}{\left|x\right|}},&x\neq 0\end{cases}}$
  • Область определения: $\mathbb {R}$
  • Правый предел: $\lim _{x\to 0+0}\operatorname {sgn} \left(x\right)=+1$
  • Левый предел: $\lim _{x\to 0-0}\operatorname {sgn} \left(x\right)=-1$
  • Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке $x=0$ не существует

См. также

• Предел функции