В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. При линейной зависимости существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

Линейно независимые векторы в R3
Линейно зависимые векторы на плоскости в R3

Пример

править

В   векторы  ,   и   линейно независимы, так как уравнение

 

имеет только одно — тривиальное — решение.

Векторы   и   являются линейно зависимыми, так как

 

а, значит,

 

Определение

править

Пусть   будет линейное пространство над полем   и  .   называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество   называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть все её коэффициенты равны нулю:

 

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним  ,   называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается  , а во втором  .

Свойства

править
  •   линейно зависимо.
  •   линейно независимо     линейно независимо для всех  .
  •   линейно зависимо     линейно зависимо для всех  .

Применение

править
Линейные системы уравнений

Линейная система   уравнений, где   — количество переменных, имеет однозначное решение тогда и только тогда, когда столбцы её основной матрицы являются линейно независимыми.

Ранг матриц

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов.

Геометрический смысл
Базис

Базис линейного пространства является максимальным множеством линейно независимых векторов (максимальность понимается в том смысле, что при добавлении к этому множеству любого вектора этого пространства новое множество уже не будет линейно независимым).

См. также

править