Обратное отношение

В математике обратное отношение — это отношение, возникающее при изменении порядка элементов в отношении. То есть, если $X$ и $Y$ наборы и $L\subseteq X\times Y$ это отношение из $X$ в $Y,$ то $L^{\operatorname {T} }$ это отношение определено так, что $yL^{\operatorname {T} }x$ тогда и только тогда, когда $xLy.$ В обозначениях записи множеств,

$L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.$

Обозначения аналогичны обозначениям обратной функции. Хотя многие функции не имеют обратного, однако каждое отношение имеет уникальное обратное. Унарная операция, которая отображает отношение в обратное отношение, является инволюцией. В качестве унарной операции обратное (иногда называемое транспозицией) коммутирует с операциями исчисления отношений, связанными с порядком, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.

Поскольку отношение может быть представлено как логическая матрица, а она является транспонированием исходного, обратное отношение также называется транспонированным отношением. Его также называют противоположным или двойственным исходному отношению, или обратным исходному отношению, или обратным отношением. $L^{\circ }$ отношения $L.$

Другие обозначения для обратного отношения включают $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ или $L^{\vee }.$

Характеристики

В моноиде внутренних отношений на множестве (при этом бинарная операция над отношениями является композицией отношений) обратное отношение не удовлетворяет определению обратного из теории групп, то есть если $L$ является произвольным отношением на $X,$ затем $L\circ L^{\operatorname {T} }$не равно тождественному отношению на $X$ в общем. Обратное соотношение удовлетворяет аксиомам полугруппы с инволюцей: $\left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L$ и $(L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.$

Кроме того, полугруппа однородных отношений на множестве также является частично упорядоченной структурой (с включением отношений как множеств) и фактически инволютивным кванталом.

В исчислении отношений преобразование (унарная операция взятия обратного отношения) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутирует с унарной операцией дополнения, а также с взятием супремума и инфинума. Преобразование также совместимо с упорядочением отношений по включению.

Инверсии

Если $I$ представляет тождественное отношение, то отношение $R$ может иметь обратное следующим образом: $R$ называется

Обратимое отношение справа

Если существует отношение $X,$ называемое правой обратной зависимостью $R,$удовлетворяющее $R\circ X=I.$

Обратимое отношение слева

Если существует отношение $Y,$ называемое левой обратной зависимостью $R,$ удовлетворяющее $Y\circ R=I.$

Обратимое отношение

Если оно обратимо слева и справа.

Для обратимого однородного отношения $R,$ все правые и левые обратные совпадают; этот уникальный набор называется инверсия (обратная зависимость) и обозначается $R^{-1}.$ В этом случае, $R^{-1}=R^{\operatorname {T} }$.

Обратное отношение функции

Функция обратима тогда и только тогда, когда её обратное отношение является функцией, и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.

Обратное отношение функции $f:X\to Y$ отношение $f^{-1}\subseteq Y\times X$ определяется $\operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.$

Это не обязательно функция: одно необходимое условие состоит в том, что $f$ быть инъективным, так как иначе $f^{-1}$ является многозначным . Это условие является достаточным для $f^{-1}$ является частичной функцией, и ясно, что $f^{-1}$ тогда является (суммарной) функцией тогда и только тогда, когда $f$ является сюръективным . В этом случае, то есть если $f$ биективен, $f^{-1}$ можно назвать обратной функцией $f.$

Однако функция $g(x)=x^{2}$ имеет обратное отношение $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ которая не является функцией, будучи многозначной.

Композиция с отношением

Используя композицию отношений, обратное может быть составлено с исходным отношением. Например, отношение подмножества, составленное из обратного отношения, всегда является универсальным отношением:

Теперь рассмотрим отношение принадлежности множества и его обратное.

$A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .$

Таким образом $A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .$ Противоположный состав $\in \ni$ является универсальным отношением.

Композиции используются для классификации отношений по типу: для отношения Q, когда тождественное отношение в диапазоне Q содержит Q ^T Q, тогда Q называется одновалентным . Когда отношение тождества на области определения Q содержится в QQ ^T, тогда Q называется полным . Когда Q одновалентно и тотально, то это функция . Когда Q ^T одновалентен, то Q называется инъективным . Когда Q ^T полон, Q называется сюръективным.