Ожидаемая величина измерения (квантовая механика)

Ожидаемая величина измерения (квантовая механика) — вероятностное ожидаемое значение результата эксперимента по измерению в квантовой механике. Её можно рассматривать как среднее значение всех возможных результатов измерения, взвешенное по их вероятности, и, как таковое, оно не является "наиболее" вероятным значением измерения; действительно, ожидаемое значение может иметь нулевую вероятность возникновения (например, измерения, которые могут давать только целочисленные значения, могут иметь нецелочисленное среднее значение). Является фундаментальным понятием во всех областях квантовой физики.

Популярное определение

Рассмотрим оператор $A$. Тогда ожидаемая величина равна: $\langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle$ в обозначениях Дирака, где $|\psi \rangle$ нормализованный вектор состояния.

Математический аппарат

В квантовой теории исходные условия эксперимента по измерению описываются наблюдаемой $A$, подлежащей измерению, и состоянием $\sigma$ системы. Ожидаемая величина $A$ в состоянии $\sigma$ обозначается как $\langle A\rangle _{\sigma }$. Математически, $A$ является самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве.

В наиболее часто используемом случае в квантовой механике, $\sigma$ является чистым состоянием, описываемым нормализованным вектором вектором $\psi$ в гильбертовом пространстве. Ожидаемая величина измерения $A$ в состоянии $\psi$ определена как:

$\langle A\rangle _{\psi }=\langle \psi |A|\psi \rangle .$

(1)

Если рассматривается динамика, то принимается, что либо вектор $\psi$, либо оператор $A$ зависят от времени, в зависимости от того, используется представление Шредингера или представление Гейзенберга. Однако эволюция ожидаемого значения не зависит от этого выбора.

Если $A$ имеет полный набор собственных векторов $\phi _{j}$, с собственными значениями $a_{j}$, то (1) может быть выражено как

$\langle A\rangle _{\psi }=\sum _{j}a_{j}|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}.$

(2)

Это выражение похоже на среднее арифметическое и иллюстрирует физический смысл математического формализма: собственные значения $a_{j}$ являются возможными результатами эксперимента по измерению, и соответствующий им коэффициент $|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}$ - это вероятность того, что этот результат будет получен; его часто называют вероятностью перехода.

Особенно простой случай возникает, когда $A$ является проекцией и, следовательно, имеет только собственные значения 0 и 1. Это физически соответствует типу эксперимента "да-нет". В этом случае ожидаемое значение - это вероятность того, что эксперимент приведет к "1", и его можно вычислить как

$\langle A\rangle _{\psi }=\|A|\psi \rangle \|^{2}.$

(3)

В квантовой теории оператор также может иметь недискретный спектр, такой как оператор координаты $X$ в квантовой механике. Этот оператор имеет полностью непрерывный спектр, с собственными значениями и собственными векторами, зависящими от непрерывного параметра, $x$. В частности, оператор $X$ действует на пространственный вектор $|x\rangle$ как $X|x\rangle =x|x\rangle$.

В этом случае вектор $\psi$ может быть записан как комплекснозначная функция $\psi (x)$ на спектре $X$ (обычно реальная линия). Формально это достигается путем проецирования вектора состояния $|\psi \rangle$ на собственные значения оператора, как в дискретном случае ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$. Случается, что собственные векторы позиционного оператора образуют полный базис для векторного пространства состояний и, следовательно, подчиняются уравнению замыкания:

$$\int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I}$$

Вышеизложенное может быть использовано для получения общего интегрального выражения для ожидаемого значения (4), путем вставки идентификаторов в векторное выражение ожидаемого значения, а затем расширения на основе позиции:

$${\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle =\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}$$

Где условие ортонормированности базисных векторов координат $\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$, уменьшает двойной интеграл до одного интеграла. В последней строке используется модуль комплексной функции для замены $\psi ^{*}\psi$ на $|\psi |^{2}$, что является обычной заменой в квантово-механических интегралах.

Затем можно указать ожидаемое значение, где x неограниченно, в виде формулы:

$\langle X\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }\,x\,|\psi (x)|^{2}\,dx.$

(4)

Аналогичная формула справедлива для оператора импульса $P$ в системах, где он имеет непрерывный спектр.

Все приведенные выше формулы действительны только для чистых состояний $\sigma$. Важное значение в термодинамике и квантовой оптике также имеют "смешанные состояния"; они описываются положительным оператором класса следа

${\textstyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$,

"статистический оператор" или "матрица плотности". Затем ожидаемое значение может быть получено как

$\langle A\rangle _{\rho }=\operatorname {Trace} (\rho A)=\sum _{i}\rho _{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\rho _{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}.$

(5)

Общая формулировка

В общем случае квантовые состояния $\sigma$ описываются положительными нормализованными линейными функционалами на множестве наблюдаемых, математически часто принимаемыми за C*-алгебру. Ожидаемое значение наблюдаемой $A$ дается как

$\langle A\rangle _{\sigma }=\sigma (A).$

(6)

Если алгебра наблюдаемых действует неприводимо в гильбертовом пространстве, и если $\sigma$ является "нормальным функционалом", то есть непрерывным в сверхслабой топологии, то ее можно записать как

$$\sigma (\cdot )=\operatorname {Trace} (\rho \;\cdot )$$

с положительным оператором класса следа $\rho$ следа 1. Это дает формулу (5) выше. В случае чистого состояния, $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$ - это проекция на единичный вектор $\psi$. Тогда $\sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle$ дает формулу (1) выше.

Предполагается, что $A$ является самосопряженным оператором. В общем случае его спектр не будет ни полностью дискретным, ни полностью непрерывным. Тем не менее, можно написать $A$ в спектральном разложении,

$$A=\int a\,dP(a)$$

с помощью измеряемой проектором величины $P$. Для ожидаемого значения $A$ в чистом состоянии $\sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle$, это означает

$$\langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,$$

который можно рассматривать как общее обобщение формул (2) и (4) выше.

В нерелятивистских теориях конечного числа частиц (нерелятивистская квантовая механика) рассматриваемые состояния, как правило, являются нормальными. Однако в других областях квантовой теории используются также ненормальные состояния: они появляются, например. в виде состояний KMS в квантовой статистической механике бесконечно протяженных сред, и как заряженные состояния в квантовой теории поля.

В этих случаях ожидаемое значение определяется только более общей формулой (6).

Пример в конфигурационном пространстве

В качестве примера рассмотрим квантово-механическую частицу в одном пространственном измерении в представлении конфигурационного пространства. Здесь гильбертовым пространством ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ является пространство квадратично интегрируемых функций на вещественной прямой. Векторы $\psi \in {\mathcal {H}}$ представлены функциями $\psi (x)$, называемыми волновыми функциями. Скалярное произведение задается ${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$. Волновые функции имеют прямую интерпретацию как распределение вероятностей: $$p(x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx$$ дает вероятность нахождения частицы в бесконечно малом интервале длины $dx$ в какой-то точке $x$.

В качестве наблюдаемого рассмотрим оператор координаты $Q$, который действует на волновые функции $\psi$ как $$(Q\psi )(x)=x\psi (x).$$

Ожидаемое значение или среднее значение измерений $Q$, выполненных на очень большом количестве "идентичных" независимых систем, будет предоставлено как $$\langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,p(x)\,dx.$$

Ожидаемое значение существует только в том случае, если интеграл сходится, что не относится ко всем векторам $\psi$. Это связано с тем, что оператор координаты неограничен, и $\psi$ должен быть выбран из его области определения.

В общем случае ожидание любого наблюдаемого может быть рассчитано путем замены $Q$ соответствующим оператором. Например, для вычисления среднего импульса используется оператор импульса "в конфигурационном пространстве", ${\textstyle P=-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$. Очевидно, его ожидаемое значение равно

$$\langle P\rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.$$

Вообще говоря, не все операторы описывают измеримые физические величины. Оператор, имеющий чисто вещественное ожидаемое значение, называется наблюдаемым, и его значение может быть непосредственно измерено в эксперименте.

См. также

• Отношение Рэлея
• Принцип неопределённости
• Теорема о вириале

Дальнейшее чтение

Для обсуждения концептуальных аспектов см.:

• Isham, Chris J. Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. — Imperial College Press, 1995.