Ортодиагональный четырёхугольник

В евклидовой геометрии ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются под прямым углом.

Ортодиагональный четырёхугольник. Согласно описанию этих четырёхугольников, два красных квадрата на двух противоположных сторонах четырёхугольника дают в сумме ту же площадь, что и два синих квадрата на другой паре сторон.

Специальные случаи

править

Дельтоид является ортодиагональным четырёхугольником, в котором одна диагональ является осью симметрии. Дельтоиды — это в точности ортодиагональные четырёхугольники, имеющие окружность, касающуюся всех четырёх сторон. Таким образом, дельтоиды являются описанными ортодиагональными четырёхугольниками[1].

Ромб — это ортодиагональный четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон (т.е. ортодиагональный четырёхугольник и параллелограмм одновременно).

Квадрат — это частный случай ортодиагонального четырёхугольника, который является одновременно и дельтоидом, и ромбом.

Ортодиагональные равнодиагональные четырёхугольники, в которых диагонали не меньше любой стороны, имеют максимальный диаметр среди всех четырёхугольников, что решает случай n = 4 задачи наибольшего по площади многоугольника единичного диаметра. Квадрат является одним из таких четырёхугольников, но есть бесконечно много других.

Описание

править
 
Ортодиагональный четырёхугольник. Параллелограмм Вариньона выделен красным (M12 M23 M34 M41, где Mxy является серединой отрезка [Bx, By]).
Антимедиатрисы выделены синим (основанием антимедиатрисы, опущенной из Mxy является точка Axy).
Середины сторон и основания антимедиатрис лежат на одной окружности. На рисунке точка O — центр этой окружности.

Для любого ортодиагонального четырёхугольника суммы квадратов противоположных сторон равны — для сторон a, b, c и d мы имеем[2][3]:

 

Это следует из теоремы Пифагора, по которой любая из этих двух сумм равна сумме четырёх квадратов расстояний от вершин четырёхугольника до точки пересечения диагоналей.

Обратно — любой четырёхугольник, в котором a2 + c2 = b2 + d2, должен быть ортодиагональным [4]. Это можно показать разными путями, используя теорему косинусов, вектора, доказательство от противного и комплексные числа [5].

Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда бимедианы имеют одинаковую длину[5].

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны также тогда и только тогда, когда

 ,

где P — точка пересечения диагоналей. Из этого равенства следует почти немедленно, что диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны также тогда и только тогда, когда проекции пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника являются вершинами вписанного четырёхугольника[5].

 
Ортодиагональный четырёхугольник. Нормали к сторонам треугольника (перпендикуляры из точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника) выделены синим цветом, точки K, L, M, N — основания нормалей.
Прямоугольник, образованный точками пересечения нормалей с противоположными сторонами, выделен красным цветом (вершины прямоугольника — R, S, T, U.
Основания нормалей и пересечения нормалей с противолежащими сторонами лежат на одной окружности. На рисунке точка O — центр этой окружности.

Выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона (вершинами которого служат середины сторон) является прямоугольником[5]. Также выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда середины его сторон и основания четырёх антимедиатрис являются восемью точками, лежащими на одной окружности[англ.], окружности восьми точек. Центр этой окружности является центроидом четырёхугольника. Четырёхугольник, образованный основаниями антимедиатрис, называется главным орточетырёхугольником[6].

Если нормали к сторонам выпуклого четырёхугольника ABCD через пересечение диагоналей пересекают противоположные стороны в точках R, S, T, U, а K, L, M, N — основания нормалей, то четырёхугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда восемь точек K, L, M, N, R, S, T и U лежат на одной окружности, второй окружности восьми точек. Кроме того, выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда четырёхугольник RSTU является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD[5].

 
Ортодиагональный четырёхугольник. Нормали к сторонам треугольника выделены синим цветом, точки K, L, M, N — основания нормалей.
Медианы выделены красным. Основания медиан являются центрами описанных окружностей.

Есть несколько соотношений относительно четырёх треугольников, образованных точкой пересечения диагоналей P и вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD. Обозначим через m1, m2, m3, m4 медианы в треугольниках ABP, BCP, CDP, DAP из P на стороны AB, BC, CD, DA соответственно. Обозначим через R1, R2, R3, R4 радиусы описанных окружностей, а через h1, h2, h3, h4высоты этих треугольников. Тогда четырёхугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих равенств[5]:

  •  
  •  
  •  

Более того, четырёхугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей P ортодиагонален тогда и только тогда, когда центры описанных вокруг треугольников ABP, BCP, CDP и DAP окружностей являются серединами сторон четырёхугольника[5].

Сравнение с описанным четырёхугольником

править

Некоторые числовые характеристики описанных четырёхугольников и ортодиагональных четырёхугольников очень похожи, что видно в следующей таблице[5]. Здесь длины сторон четырёхугольника равны a, b, c, d, радиусы описанных окружностей вокруг треугольников равны R1, R2, R3, R4, а высоты равны h1, h2, h3, h4 (как на рисунке).

Описанный четырёхугольник Ортодиагональный четырёхугольник
   
   
   

Площадь

править

Площадь K ортодиагонального четырёхугольника равна половине произведения длин диагоналей p и q[7]:

 

Обратно — любой выпуклый четырёхугольник, площадь которого равна половине произведения диагоналей, ортодиагонален[5]. Ортодиагональный четырёхугольник имеет наибольшую площадь среди всех выпуклых четырёхугольников с данными диагоналями.

Другие свойства

править
  • Только для ортодиагональных четырёхугольников площадь не определяется однозначно сторонами и углом между диагоналями[8]. Например, если из двух ромбов со сторонами a (как у всех ромбов, у них диагонали перпендикулярны) один имеет меньший острый угол, то площади будут различными.
  • Если на сторонах любого четырёхугольника (выпуклого, вогнутого или самопересекающегося) нарисовать квадраты, то их центры будут вершинами ортодиагонального четырёхугольника (к тому же и равнодиагонального). Это утверждение носит название теоремы Ван-Обеля.

Свойства ортодиагонального вписанного четырёхугольника

править

Радиус описанной окружности и площадь

править

Пусть во вписанном в окружность ортодиагональном четырёхугольнике точка пересечения диагоналей делит одну из диагоналей на отрезки длиной p1 и p2, а другую — на отрезки длиной q1 и q2. Тогда (первое равенство в Утверждении 11 в книге Архимеда «Леммы»)

 ,

где Dдиаметр описанной окружности. Это выполняется для любых двух перпендикулярных хорд окружности[9]. Из этой формулы вытекает выражение для радиуса описанной окружности

 

или, в терминах сторон четырёхугольника,

 

Отсюда также следует, что

 

Тогда, согласно формуле Эйлера, радиус описанной окружности может быть выражен в терминах диагоналей p и q и расстоянию x между серединами диагоналей

 

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника в терминах четырёх сторон получается непосредственно, если скомбинировать теорему Птолемея и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника.

 

Другие свойства

править
  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей[2].
  • Теорема Брахмагупты утверждает, что для любого вписанного ортодиагонального четырёхугольника перпендикуляр к стороне, проходящий через точку пересечения диагоналей, делит пополам противоположную сторону[2].
  • Если ортодиагональный четырёхугольник является вписанным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны[2].
  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей[2].
  • Ортодиагональный четырёхугольник, являющийся также равнодиагональным, является среднеквадратным четырёхугольником, поскольку его параллелограмм Вариньона является квадратом. Его площадь может быть выражена чисто в терминах сторон.

Прямоугольники вписанные в ортодиагональный четырехугольник

править

В любой ортодиагональный четырехугольник можно вписать бесконечно много прямоугольников, относящихся к следующим двум множествам:

(i) прямоугольники, чьи стороны параллельны диагоналям ортодиагонального четырехугольника
(ii) прямоугольники, определяемые окружностями точек Паскаля.[10][11][12]
 
  - ортодиагональный четырехугольник,   и   прямоугольники, вписанные в  , и стороны которых параллельны диагоналям четырехугольник.
 
  - ортодиагональный четырехугольник.   и   точки Паскаля, формируемые с помощью окружности  ,   – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника   вписанного в  .   и   точки Паскаля, формируемые с помощью окружности  ,   – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника   вписанного в  .

Примечания

править
  1. Josefsson, 2010, p. 119—130.
  2. 1 2 3 4 5 Altshiller-Court, 2007, p. 136—138.
  3. Mitchell, 2009, p. 306—309.
  4. Ismailescu, Vojdany, 2009, p. 195–211.
  5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Josefsson, 2012, p. 13–25.
  6. Mammana, Micale, Pennisi, 2011, p. 109–119.
  7. Harries, 2002, p. 310–311.
  8. Mitchell, 2009, p. 306–309.
  9. Posamentier, Salkind, 1996, p. 104–105, #4–23.
  10. David, Fraivert (2019), "A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles", Journal for Geometry and Graphics, 23: 5—27, Архивировано из оригинала 23 октября 2020, Дата обращения: 22 июля 2019.
  11. David, Fraivert (2017), "Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals" (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509—526, Архивировано из оригинала (PDF) 5 декабря 2020, Дата обращения: 18 декабря 2017.
  12. Фрейверт, Д. М. (2019), "Новая тема в евклидовой геометрии на плоскости: теория «точек Паскаля», формируемых с помощью окружности на сторонах четырехугольника", Математическое образование: современное состояние и перспективы : материалы Международной научной конференции, Архивировано из оригинала 10 ноября 2019, Дата обращения: 10 ноября 2019

Литература

править
  • Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010. — Vol. 10. — P. 119–130.
  • Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Vol. 12. — P. 13–25.
  • Maria Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi. The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011. — Vol. 11. — P. 109–119.
  • N. Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007. (Переиздание книги 1952 года, Barnes & Noble)