Постоянная Хинчина

Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа , равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.

Постоянная Хинчина названа в честь Александра Яковлевича Хинчина, обнаружившего и доказавшего существование этой постоянной и формулу для неё в 1935 году[1]. Обозначение [2] или [3] соответствует первой букве транслитерации фамилии «Хинчин» в европейских языках.

ОпределениеПравить

Для почти любого вещественного числа   элементы   его разложения в цепную дробь имеют конечное среднее геометрическое, не зависящее от  [4]. Эта величина и называется постоянной Хинчина.

Иными словами, если

 ,

где   целое, а остальные   натуральные, то для почти всех   выполняется

  (последовательность A002210 в OEIS).

При этом постоянную Хинчина   можно выразить в виде бесконечного произведения

 .

ЗначимостьПравить

Разложение в цепную дробь любого вещественного числа — это последовательность натуральных чисел, и любая последовательность натуральных чисел является разложением в цепную дробь какого-либо вещественного числа, лежащего между 0 и 1. Тем не менее, если каким-либо образом случайно выбирать элементы последовательности натуральных чисел, то среднее геометрическое элементов, вообще говоря, совершенно не обязательно будет одним и тем же для всех или почти всех получаемых последовательностей. Поэтому существование постоянной Хинчина — то обстоятельство, что среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь оказывается одним и тем же для почти всех вещественных чисел, — это фундаментальное утверждение о вещественных числах и их разложениях в цепную дробь[5], изящный и глубокий результат[6], один из самых поразительных фактов в математике[7].

Схема доказательстваПравить

Здесь приводится доказательство существования постоянной Хинчина и формулы для неё, принадлежащее Чеславу Рыль-Нарджевскому[pl][8], которое проще доказательства Хинчина, не использовавшего эргодическую теорию[9].

Поскольку первый элемент   разложения числа   в цепную дробь не играет никакой роли в доказываемом утверждении и поскольку мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то мы можем ограничиться рассмотрением иррациональных чисел на отрезке  , то есть множеством  . Эти числа имеют взаимно-однозначное соответствие с цепными дробями вида  . Введём отображение Гаусса  :

 .

Для каждого борелева подмножества   множества   также определим меру Гаусса — Кузьмина:

 .

Тогда   — вероятностная мера на сигма-алгебре Борелевых подмножеств  . Мера   эквивалентна мере Лебега на  , но обладает дополнительным свойством: преобразование   сохраняет меру  . Более того, можно показать, что   — эргодическое преобразование измеримого пространства  , снабжённого мерой   (это самый трудный момент в доказательстве). Тогда эргодическая теорема говорит, что для любой  -интегрируемой функции   на   среднее значение   — одно и то же почти для всех  :

  для почти всех   по мере  [9].

Выбирая функцию  , получаем:

 

для почти всех   из  .

Беря экспоненту от обеих частей равенства, получаем слева среднее геометрическое первых   элементов цепной дроби при  , а справа — постоянную Хинчина[9].

Разложение в рядПравить

Постоянная Хинчина может быть представлена в виде ряда[10]:

 ,

или, разделяя члены ряда,

 ,

где   — некоторое фиксированное целое число,   — дзета-функция Гурвица. Оба ряда быстро сходятся, потому что   быстро приближается к нулю с ростом  . Можно также дать разложение через дилогарифм[2]:

 .

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь различных чиселПравить

 
Средние геометрические от первых   элементов разложения в цепную дробь различных чисел в зависимости от  . Зелёный график соответствует числу   — похоже, что он сходится к постоянной Хинчина, но это не доказано. Жёлтый график соответствует описанному в тексте числу, специально построенному так, чтобы график сходился к постоянной Хинчина. Красный и синий графики соответствуют числу e и числу  , соответственно; они не сходятся к постоянной Хинчина.

Хотя среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь равно   для почти всех чисел, но это не доказано практически ни для одного конкретного числа  , кроме тех, которые специально сконструированы так, чтобы удовлетворять этому утверждению[3][11]. Такое число можно построить, задавая сразу элементы его разложения в цепную дробь, например, так: любое конечное число элементов в начале не окажут никакого влияния на предельное значение среднего геометрического, поэтому их можно взять любыми (например, можно взять первые 60 элементов равными 4); каждый последующий элемент берётся равным 2 или 3 в зависимости от того, больше или меньше постоянной Хинчина среднее геометрическое всех предшествующих элементов. Для данного конкретного примера, однако, не выполняется статистика Гаусса — Кузьмина.

К числам  , про которые известно, что среднее геометрическое элементов их разложения в цепную дробь не равняется постоянной Хинчина, относятся рациональные числа, квадратичные иррациональности (корни всевозможных квадратных уравнений с целыми коэффициентами) и основание натурального логарифма  . Хотя рациональных чисел и квадратичных иррациональностей бесконечно много, но они образуют множество меры ноль, и потому их не нужно включать в «почти все» числа из определения постоянной Хинчина.

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь некоторых чисел, похоже (исходя из непосредственных вычислений средних для больших  ), сходится к постоянной Хинчина, хотя ни в одном из этих случаев равенство в пределе не доказано. В частности, к этим числам относятся число π, постоянная Эйлера — Маскерони, число  ,  , сама постоянная Хинчина. Последнее обстоятельство позволяет предположить, что постоянная Хинчина иррациональна, но точно неизвестно, является ли постоянная Хинчина рациональным, алгебраическим или трансцендентным числом[3].

Средние степенныеПравить

Можно рассматривать постоянную Хинчина как частный случай среднего степенного элементов разложения чисел в цепную дробь. Для любой последовательности   среднее степени   равняется

 .

Если   — элементы разложения числа   в цепную дробь, то   для любого   и почти всех   даются формулой

 .

Она получается вычислением соответствующего степенного среднего по статистике Гаусса — Кузьмина и соответствует выбору функции   в вышеизложенном доказательстве[2][8]. Можно показать, что значение   получается в пределе  .

В частности, можно получить среднее гармоническое элементов разложения в цепную дробь. Это число равно

  (последовательность A087491 в OEIS).

ПримечанияПравить

  1. Хинчин А. Я. Metrische Kettenbruchprobleme : [нем.] // Compositio Mathematica. — 1935. — Т. 1. — С. 361—382. MR: 1556899.
  2. 1 2 3 Bailey, Borwein & Crandall, 1997.
  3. 1 2 3 Weisstein, Eric W. Khinchin's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Хинчин, 1960, § 16 Средние значения, с. 110—111.
  5. McLeman, Cam. The Ten Coolest Numbers. Дата обращения: 18 января 2016. Архивировано 24 февраля 2012 года.
  6. Александр Яковлевич Хинчин (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. — 1955. — Т. 10, вып. 3(65). — С. 197–212.
  7. Finch, Steven R. Mathematical Constants. — Cambridge University Press, 2003. — P. 60. — Errata and Addenda. — ISBN 978-0521818056.
  8. 1 2 Ryll-Nardzewski, Czesław. On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions) : [англ.] // Studia Mathematica. — 1951. — Vol. 12. — P. 74–79. MR: 13:757b.
  9. 1 2 3 Kac, Marc. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. — Math. Association of America, and John Wiley & Sons, 1959. — ISBN 978-0883850121.
  10. Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В этой статье использовано немного отличающееся от стандартного определение дзета-функции Гурвица.
  11. Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. of the American Mathematical Society. — 2008. — Vol. 136, no. 3. — P. 815—824. — doi:10.1090/S0002-9939-07-09202-7. MR: 2361853. См. последовательность A089618 в OEIS.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить