Пространство состояний (теория управления)

(перенаправлено с «Пространство состояний»)

Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний.

ОпределениеПравить

Пространство состояний обычно называют фазовым пространством динамической системы, а траекторию движения изображающей точки в этом пространстве — фазовой траекторией.[B: 1][B: 2][A: 1]

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Линейные непрерывные системыПравить

 
Структурная схема непрерывной линейной системы, описанной в виде переменных состояния

Для случая линейной системы с   входами,   выходами и   переменными состояния описание имеет вид:

 
 

где

 ;  ;  ;
 ,  ,  ,  ,  :
 вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы
 вектор выхода,
 вектор управления,
 матрица системы,
 матрица управления,
 матрица выхода,
 матрица прямой связи.

Часто матрица   является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Дискретные системыПравить

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях:

 
 

Нелинейные системыПравить

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

 
 
 

или в более компактной форме:

 
 .

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

ЛинеаризацияПравить

В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки  . В установившемся режиме   для рабочей точки   справедливо следующее выражение:

 

Вводя обозначения:

 
 

Разложение уравнения состояния   в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:

 

При взятии частных производных вектор-функции   по вектору переменных состояний   и вектору входных воздействий   получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:

 .

Аналогично для функции выхода:

 

Учитывая  , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:

   
   

где

 .

ПримерыПравить

Модель в пространстве состояний для маятникаПравить

Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:

 

где

  •   — угол отклонения маятника.
  •   — приведённая масса маятника
  •   — ускорение свободного падения
  •   — коэффициент трения в подшипнике подвеса
  •   — длина подвеса маятника

В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:

 
 

где

  •   — угол отклонения маятника
  •  угловая скорость маятника
  •  угловое ускорение маятника

Запись уравнений состояния в общем виде:

 .

Линеаризация модели маятникаПравить

Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окрестности точки равновесия   имеет вид:

 

При отсутствии трения в подвесе (k = 0) получим уравнение движения математического маятника:

 

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Книги
  1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1967.
  2. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
  • Статьи

СсылкиПравить