Распределение (дифференциальная геометрия)
Распределением на многообразии называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке выбрано линейное подпространство касательного пространства которое гладко зависит от точки .
Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.
Определение
правитьПусть — гладкое -мерное многообразие и . Предположим, что в каждой точке выбрано -мерное подпространство касательного пространства такое, что у любой точки существует окрестность и линейно независимых гладких векторных полей , причем для любой точки , векторы составляют базис подпространства .
В этом случае, совокупность всех подпространств , , называется -мерным распределением на многообразии .
При этом векторные поля называется локальным базисом распределения
Инволютивные распределения
правитьРаспределение на называется инволютивным, если в окрестности каждой точки существует локальный базис распределения такой, что все скобки Ли векторных полей принадлежат линейной оболочке , то есть являются линейными комбинациями векторов Условие инволютивности распределения записывается как .
Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.
Задание распределения системой 1-форм
правитьНа открытом множестве -мерное распределение может быть задано системой гладких 1-форм , определенных в и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями . Если и — системы 1-форм, определяющие распределение в и в , то в пересечении форма , где — такие гладкие функции, что в . Если , говорят, что задана глобальная определяющая система форм.
Интегрируемость распределения
править-мерное распределение называется интегрируемым, или фробениусовым, если через каждую точку проходит -мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.
Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
В -мерном случае, , существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.
Теорема Фробениуса в терминах векторных полей
правитьТеорема: -мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.
Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.
Теорема Фробениуса в терминах 1-форм
правитьТеорема: -мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм , интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал
,
где — гладкие 1-формы. Если определяющие формы независимы, это условие эквивалентно системе
.
Интегрируемое распределение определяет слоение на многообразии : его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что -мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает -мерное слоение.
Теорема Тёрстона
правитьТеорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому [1],[2].
Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером[3].
См. также
правитьПримечания
править- ↑ W. Thurston, The theory of foliations of codimension greater than one — Comm. Math. Helv., 49 (1974), pp. 214–231.
- ↑ W. Thurston, Existence of codimension one foliations — Ann. of Math., 104:2 (1976), pp. 249–268.
- ↑ A. Haefliger, Feuilletages sur les variétés ouvertes — Topology, 9:2 (1970), pp. 183–194.
Литература
править- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
- Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.