Распределение (дифференциальная геометрия)

Распределением на многообразии называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке выбрано линейное подпространство касательного пространства которое гладко зависит от точки .

Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.

Определение

править

Пусть   — гладкое  -мерное многообразие и  . Предположим, что в каждой точке   выбрано  -мерное подпространство   касательного пространства такое, что у любой точки   существует окрестность   и   линейно независимых гладких векторных полей  , причем для любой точки  , векторы   составляют базис подпространства  .

В этом случае, совокупность   всех подпространств  ,  , называется  -мерным распределением на многообразии  .

При этом векторные поля   называется локальным базисом распределения  

Инволютивные распределения

править

Распределение   на   называется инволютивным, если в окрестности каждой точки   существует локальный базис распределения   такой, что все скобки Ли векторных полей   принадлежат линейной оболочке  , то есть   являются линейными комбинациями векторов   Условие инволютивности распределения   записывается как  .

Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.

Задание распределения системой 1-форм

править

На открытом множестве    -мерное распределение   может быть задано системой гладких 1-форм  , определенных в   и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями  . Если   и   — системы 1-форм, определяющие распределение   в   и в  , то в пересечении   форма  , где   — такие гладкие функции, что   в  . Если  , говорят, что задана глобальная определяющая система форм.

Интегрируемость распределения

править

 -мерное распределение называется интегрируемым, или фробениусовым, если через каждую точку   проходит  -мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.

Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

В  -мерном случае,  , существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.

Теорема Фробениуса в терминах векторных полей

править

Теорема:  -мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.

Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.

Теорема Фробениуса в терминах 1-форм

править

Теорема:  -мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм  , интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал

 ,

где   — гладкие 1-формы. Если определяющие формы   независимы, это условие эквивалентно системе

 .

Интегрируемое распределение   определяет слоение на многообразии  : его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что  -мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает  -мерное слоение.

Теорема Тёрстона

править

Теорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому [1],[2].

Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером[3].

См. также

править

Примечания

править
  1. W. Thurston, The theory of foliations of codimension greater than one — Comm. Math. Helv., 49 (1974), pp. 214–231.
  2. W. Thurston, Existence of codimension one foliations — Ann. of Math., 104:2 (1976), pp. 249–268.
  3. A. Haefliger, Feuilletages sur les variétés ouvertes — Topology, 9:2 (1970), pp. 183–194.

Литература

править
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.