Субри́маново многообра́зие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие. Суть обобщения состоит в том, что скалярное произведение задается не на касательных пространствах целиком, а только на некоторых их подпространствах (как правило, фиксированной размерности).

Тем самым, в субримановом многообразии понятие длины определено не для всех кривых, а только для так называемых горизонтальных кривых (тех, которые в каждой своей точке касаются соответствующего подпространства). Возникающая таким образом внутренняя метрика субриманова многообразия называется метрикой Карно-Каратеодори.

Определение править

  • Пусть   — гладкое многообразие размерности  , на котором задано гладкое распределение   размерности  , т.е. в каждой точке   задано линейное подпространство   касательного пространства   которое гладко зависит от точки  . Подпространства   называются горизонтальными. Векторное поле и кривая на   называются горизонтальными, если они касаются распределения   в каждой точке (в случае кривой имеются в виду все точки, в которых кривая имеет касательную).
  • Распределение   называется вполне неинтегрируемым или вполне неголономным, если в каждой точке   любой вектор касательного пространства   представим в виде линейной комбинации векторов вида
 
с некоторыми  . Здесь   означает скобку Ли векторных полей.
  • Многообразие   с определённым на нём вполне неинтегрируемым распределением   называется субримановым, если каждое горизонтальное подпространство   снабжено скалярным произведением gметрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, субримановым многообразием называется тройка  .

Связанные понятия править

Теорема Рашевского — Чоу править

Теорема Рашевского — Чоу утверждает, что для любых двух точек линейно связного субриманова многообразия найдется кусочно-гладкая горизонтальная кривая, соединяющая эти точки. Эта теорема была доказана независимо советским математиком П. К. Рашевским (1938)[1] и китайским математиком Чоу (Wei-Liang Chow, 1939)[2].

В этой теореме условие гладкости вполне неголономного распределения может быть ослаблено и заменено условием лишпицевости[3].

Метрика Карно — Каратеодори править

Каждое субриманово многообразие обладает метрикой, определённой по аналогии с римановым многообразием формулой

 

где инфимум берётся по всевозможным кусочно-гладким горизонтальным кривым, соединияющим точки x и y, то есть  ,  ,  . Определённая таким образом метрика   называется метрикой Карно-Каратеодори.

Примечания править

  1. Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией. Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат., 3:2 (1938), 83—94
  2. Chow W. L. Uber Systeme von linearen partiallen Differentialgleichungen erster Ordnung. Math. Ann., 117 (1939), 98—105
  3. К. В. Сторожук. Теорема Каратеодори-Рашевского-Чоу для липшицевых неголономных распределений. Сиб. матем. журн., 54:6 (2013), 1380—1387

Литература править

  • Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.