Рассеяние света сферической частицей

(перенаправлено с «Рассеяние Ми»)
Рассеяние Ми

Рассеяние све́та сфери́ческой части́цей (Рассеяние Ми) — классическая задача электродинамики, решённая в 1908 году Густавом Ми для сферической частицы произвольного размера[1].

Задача рассматривает рассеяние электромагнитной волны, имеющей напряжённость электрического поля

где ω — частота, k — волновой вектор, а E0 — амплитуда волны, на сферической частице с радиусом R и диэлектрической проницаемостью ε.

Решение задачи находится с помощью разложения электромагнитного поля на векторные сферические гармоники.

Качественные результатыПравить

Рассеяние зависит от соотношения размеров частицы и длины волны света в материале частицы. Рэлеевское рассеяние является частным случаем рассеяния Ми для случая, когда частица намного меньше длины волны . В этом случае внешняя электромагнитная волна поляризует частицу, возбуждая в ней переменный дипольный момент. Дипольный момент, колеблющийся в такт с частотой внешней волны, переизлучает свет с характерной для дипольного момента диаграммой направленности. Если можно пренебречь частотной зависимостью диэлектрической проницаемости частицы, интенсивность рассеяния зависит от частоты в четвертой степени, что приводит к сильному рассеянию коротких волн. В рассеянном белом свете преобладает голубой оттенок, а в нерассеянном — красный.

В случае близости размеров частицы к длине волны света диаграмма направленности рассеяния становится сложной. Проявляется интерференция волн, отражённых от различных участков поверхности частицы. Интенсивность рассеянного под определенным углом света зависит от того, сколько раз волна укладывается на диаметре частицы, поэтому она сильно зависит от размеров частицы. Когда в размеры частицы укладывается несколько длин волны, чередование максимумов и минимумов в диаграмме направленности становится настолько частым, что при падении белого света на, например, коллоидный раствор, наблюдатель увидит белый рассеянный свет. В итоге вещество с большим количеством таких частиц становится непрозрачным. В этом причина белого цвета облаков на небе, белого цвета молока и т. д. Раствор коллоидных частиц может быть окрашен в том случае, когда вещество частиц избирательно поглощает свет в определенном спектральном диапазоне.

Если размеры сферы намного больше длины волны света, то поверхность сферы будет вести себя как плоская поверхность. Происходит преломление и отражение света, которые описываются формулами Френеля.

Рассеяние плоской волны сферической частицейПравить

 
Рассеяние плоской волны, падающей вдоль оси z на сферической наночастице радиусом a

Задача рассеяния сферической наночастицей решается точно независимо от размера частицы. Будем рассматривать рассеяние плоской волной, распространяющейся вдоль оси z, поляризованной по x. Диэлектрическая и магнитная проницаемости частицы   и  , а среды -   и   соответственно. Для того, чтобы решить задачу рассеяния[2], выпишем сначала решения векторного уравнения Гельмгольца в сферических координатах, поскольку поля внутри и снаружи частицы должны ему удовлетворять. Уравнение Гельмгольца:

 

кроме уравнения Гельмгольца, поля должны еще удовлетворять условиям   и  ,  . Всеми необходимыми свойствами обладают векторные сферические гармоники, введенные следующим образом:

  - магнитные гармоники
  - электрические гармоники

где

 
 

и   - присоединенные полиномы Лежандра, а   - любая из сферических функций Бесселя.

Далее необходимо разложить падающую плоскую волну по векторным сферическим гармоникам.

 
 

здесь верхний индекс   означает, что в радиальной части функций   - сферические фунции Бесселя.

 
Угловая часть магнитных и электрических векторных сферических гармоник. Красными и зелеными стрелками показаны направления векторного поля. Первые три порядка - диполи, квадруполи и октуполи.

Коэффициенты разложения получаются при взятии интегралов вида

 

при этом все коэффициенты при   обнуляются, поскольку обнуляется интеграл по углу   в числителе.

Затем накладываются

1)граничные условия на границе между шаром и окружающей средой (которые позволяют связать коэффициенты разложения падающего, внутреннего, и рассеянного полей),

2) условие ограниченности решения в начале координат(поэтому в радиальной части производящих функций   для внутреннего поля выбираются сферические функции Бесселя),

3) для рассеянного поля асимптотика на бесконечности соответствует расходящееся сферической волне(в связи с этим для рассеянного поля в радиальной части производящих функций   выбираются сферические функции Ханкеля первого рода).

Рассеянные поля записываются в виде разложения по векторным гармоникам как

 
 

здесь верхний индекс   означает, что в радиальной части функций   - сферические фунции Ханкеля,

а внутренние:

 
 

 - волновой вектор снаружи частицы,   - волновой вектор в среде из материала частицы,   и   - показатели преломления среды и частицы, После применения граничных условий получаются выражения для коэффициентов:

 
 
 
 

Здесь  ,  , где   - радиус наночастицы,   и   - сферические функции Бесселя и Ханкеля первого рода соотвественно.

Сечения рассеяния и экстинкцииПравить

Сечения рассеяния и экстинкции могут быть получены интегрированием соответствующих функций электрического и магнитного полей по внешней сфере большого радиуса.[2] Из-за свойств ортогональности векторных сферических гармоник, получается простая связь коэффициентов Ми и сечений. Сечение рассеяния:

 

сечение экстинкции:

 

Применение к субволновым частицамПравить

Если в материале рассеивающего шара укладывается несколько длин волн, то рассеянные поля обладают некоторыми особенностями. Далее речь будет идти о виде электрического поля, поскольку магнитное поле получается из него взятием ротора.

Все коэффициенты Ми зависят от частоты и имеют максимумы, когда знаменатель близок к нулю (точное равенство нулю достигается для комплексных частот). При этом возможны ситуации, когда в рассеянии значительно доминирует вклад одной конкретной гармоники. Тогда на больших расстояниях от частицы диаграмма направленности рассеянного поля будет похожа на соответствующую диаграмму направленности угловой части векторных сферических гармоник. Гармоники   соответствуют электрическим диполям (если в разложении электрического поля доминирует вклад этой гармоники, то поле похоже на поле электрического диполя),   соотвествуют электрическому полю магнитного диполя,   и   - электрический и магнитный квадруполи,   и   - октуполи, и так далее. Максимумы коэффициентов рассеяния (а также смена их фазы на  ) называются мультипольными резонансами.

 
Мультипольное разложение зависимости сечения рассеяния золотым шаром радиусом 100 нм от длины падающей плоской волны.
 
Мультипольное разложение зависимости сечения рассеяния шаром с показателем преломления n=4 радиусом 100 нм от длины падающей плоской волны.
 
Мультипольное разложение зависимости сечения рассеяния кремниевым шаром радиусом 100 нм от длины падающей плоской волны.


Вид зависимости сечения рассеянния от длины волны и вклад конкретных резонансов сильно зависит от материала частицы. Так, например, для золотой частицы радиусом 100нм в оптическом диапазоне преобладает вклад электрического диполя в рассеяние, а для кремниевой есть ярко выраженные магнитный дипольный и квадрупольный резонансы. Для металлических частиц пик, видимый в сечении рассеяния, также называют локализованным плазмонным резонансом.

В пределе малых частиц или больших длин волн в сечении рассеяния доминирует электрический дипольный вклад.

Другие направления падающей плоской волныПравить

В случае x-поляризованной плоской волны, падающей вдоль z, разложения всех полей содержали только гармоники с m=1, но для произвольной падающей волны это не так[3]. Для повернутой плоской волны коэффициенты разложения можно получить, например, используя то, что при поворотах векторные сферические гармоники преобразуются друг через друга определенным образом. При этом рассеянное поле будет раскладываться уже по всем возможным гармоникам:

 

Тогда сечение рассеяния будет выражаться через коэффициенты следующим образом:

 

Эффект КеркераПравить

 
Суммарное электрическое поле скрещенных магнитного и электрического диполей, излучающих в фазе. Диаграмма направленности асимметрична, в одном направлении поля взаимоуничтожаются, а в другом складываются.

В 1983 году в работе Керкера [4] обсуждалась направленность рассеяния частицами с  . В частности, было показано, что для гипотетических частиц с   рассеяние назад полностью подавляется.

Кроме того, сечения рассеяния в направлении вперед и назад просто выражаются через Ми-коэффициенты [5][6]:

 
 

Для определенных комбинаций коэффициентов выражения выше могут быть минимизированы. Так, например, когда слагаемыми с   можно принебречь (дипольное приближение),  , отвечает минимальному рассеянию назад (магнитный и электрический диполи равны по модулю и находятся в фазе), а   - минимальному рассеянию вперед. Для точного решения задачи необходимо учитывать вклады всех мультиполей. Сумма электрического и магнитного диполей образует источник Гюйгенса

Для диэлектрических частиц максимальное рассеяние вперед наблюдается на длинах волн больших, чем длина волны магнитного дипольного резонанса, а назад - на меньших. [7]

Диадная функция Грина шараПравить

Функция Грина является решением следующего уравнения:

 

где   - единичная матрица,   для  , и   для  . Поскольку все поля являются векторными, функция Грина представляет из себя матрицу 3 на 3 и называется диадной. Если в системе индуцированна поляризация  , то поля выражаются как

 

Как и поля, функция Грина может быть разложена по векторным сферическим гармоникам[8]. Функция Грина свободного пространства[9]:

 
 

В присутствии шара функция Грина также раскладывается по векторным сферическим гармоникам. Ее вид зависит от того, в какой среде находятся точки   и  [10].

Когда обе точки снаружи шара( ):

 
 

где коэффициенты разложения:

 
 

Обе точки внутри шара ( ) :

 
 

Коэффициенты разложения:

 
 

Источник внутри, а наблюдение снаружи ( ) :

 
 

коэффициенты разложения:

 
 

Источник снаружи, а наблюдение внутри ( ) :

 
 

где коэффициенты разложения:

 
 

СсылкиПравить

  1. G. Mie, «Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen», Leipzig, Ann. Phys. 330, 377—445 (1908). DOI: https://dx.doi.org/10.1002/andp.19083300302
  2. 1 2 Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. — М.: Мир, 1986. — С. 221—222. — 660 с.
  3. K. A. Fuller, Scattering and absorption cross sections of compounded spheres. I. Theory for external aggregation, J. Opt. Soc. Am. A 11, 3251-3260 (1994)
  4. M. Kerker, D. S. Wang, and C. L. Giles, Electromagnetic scattering by magnetic spheres, J. Opt. Soc. Am. 73, 765–767 (1983)
  5. Tzarouchis, D.; Sihvola, A. Light Scattering by a Dielectric Sphere: Perspectives on the Mie Resonances. Appl. Sci. 2018, 8, 184.
  6. Wei Liu and Yuri S. Kivshar,Generalized Kerker effects in nanophotonics and meta-optics [Invited], Opt. Express 26, 13085-13105 (2018)
  7. Fu, Y., Kuznetsov, A., Miroshnichenko, A. et al. Directional visible light scattering by silicon nanoparticles. Nat Commun 4, 1527 (2013) doi:10.1038/ncomms2538
  8. L.-W. Li, P.-S. Kooi, M.-S. Leong, and T.-S. Yee. Electromagnetic dyadic green's function in spherically multilayered media. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 42(12):2302-2310, Dec 1994.
  9. C. T. Tai, Dyadic Green’s Functions in Electromagnetic Theory. Scranton, PA: lntext Educational, 1971.
  10. Mason, V. Bradford, The Electromagnetic Radiation From Simple Sources in the Presence of a Homogeneous Dielectric Sphere, Ph.D. Dissertation, Department of Electrical and Computer Engineering, The University of Michigan, Ann Arbor, Michigan (1972)