Симметризация и антисимметризация функции

Симметризация — это процесс, который преобразует любую функцию от n переменных в симметрическую функцию от n переменных.

Антисимметризация преобразует любую функцию от n переменных в антисимметрическую функцию.

Две переменныеПравить

Пусть   — множество, а  абелева группа. Если задано отображение  ,   называется симметрическим отображением, если  .

Симметризация отображения   — это отображение  .

Антисимметризация или кососимметризация отображения   — это отображение  .

Сумма симметризации и антисеммитризации отображения α равна 2α. Таким образом, если кольцо допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению), как например, вещественные числа, любую функцию можно представить как сумму симметрической и антисимметрической функций.

Симметризация симметрического отображения равносильна его удвоению, тогда как симметризация знакопеременного отображения[en] равна нулю. Аналогично, антисимметризация симметрического отображения равна нулю, в то время как антисимметризация знакопеременного отображения равносильна его удвоению.

Билинейные формыПравить

Симметризация и антисимметризация билинейного отображения являются билинейными отображениям. Если кольцо допускает деление на 2, любая билинейная форма является суммой симметрической формы и кососимметрической и нет разницы между симметрическими и квадратичными формами.

Если кольцо не допускает деление на 2, не всякую форму можно разложить на симметрическую и кососимметрическую. Так, например, над целыми числами связанная симметрическая форма (над рациональными числами) может использовать половинки целых значений, в то время как над   функция кососимметрическая тогда и только тогда, когда она cимметрическая (так как 1 = −1).

Это ведёт к понятию ε-квадратичных форм[en] и ε-симметрических форм.

Теория представленийПравить

В терминах теории представлений:

Поскольку симметрическая группа порядка 2 равна циклической группе порядка 2 ( ), это соответствует дискретному преобразованию Фурье порядка 2.

n переменныхПравить

В более общем случае, если дана функция от n переменных, можно её симметризовать путём взятия суммы по всем   перестановкам переменных[1] или антисимметризовать путём взятия суммы по всем   чётным перестановкам и вычитания из неё суммы всех   нечётных перестановок (за исключением случая n ≤ 1, когда имеется единственная перестановка, так что число перестановок нечётно).

В этом случае симметризация (соответственно, антисимметризация) симметрической функции умножается на  . Таким образом, если кольцо допускает деление на  , как бывает в случае поля характеристики   или  , это даёт проекции, если разделить на  .

В терминах теории представлений имеются подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому, но для случая   существую и другие — см. Теория представления симметрической группы[en] и Симметрический многочлен.

БутстрэпПравить

Если задана функция от k переменных, можно получить симметрическую функцию от n переменных путём взятия суммы над подмножествами из k переменных. В статистике это называется бутстрэпом, а ассоциированные статистики называются U-статистиками[en].

ПримечанияПравить

  1. Hazewinkel, 1990, с. 344.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить