Антипризма

Антипризма — полуправильный многогранник, у которого две параллельные грани (основания) — равные между собой правильные n-угольники, а остальные 2n граней (боковые грани) — правильные треугольники.

Антипризма на $n$-угольнике
Антипризма на 17-угольнике
Тип	полуправильный многогранник
Комбинаторика
Элементы	$2n+2$ граней $4n$ рёбер $2n$ вершин Χ = 2
Грани	$2n$ треугольников, 2 $n$-угольника
Конфигурация вершины	3.3.3.$n$
Двойственный многогранник	трапецоэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	$A_{n}$
Символ Шлефли	$\{\,\}\otimes \{n\}$ $s\{2,2n\}$ $sr\{2,n\}$
Диаграмма Дынкина
Группа симметрии	$D_{nd}$
Группа вращения	$D_{n}$
Количественные данные
Длина ребра	$a$
Площадь поверхности	${\frac {n}{2}}\left(\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}$
Объём	${\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}\;a^{3}$
Медиафайлы на Викискладе

Октаэдр является антипризмой с треугольными основаниями. Икосаэдр сложен из пятиугольной антипризмы и двух правильных пятиугольных пирамид.

Объем и площадь поверхности

Пусть $a$ — длина ребра правильной антипризмы. Тогда её объем вычисляется по формуле:

$V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}\;a^{3}$

а площадь поверхности по формуле:

$S={\frac {n}{2}}\left(\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.$

Вариации и обобщения

Скрученная квадратная антипризма

• Скрученная квадратная антипризма получается из антипризмы поворотом одного из оснований при сохранении комбинаторной структуры граней рёбер и вершин.
  • Многогранник Шёнхардта — скрученная треугольная антипризма.

Семейство однородных антипризм n.3.3.3

Многогранник
Мозаика
Конфигурация	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...∞.3.3.3

Семейство однородных антипризм n.3.3.3

*n62 варианты симметрии правильных мозаик: {6,n}
Сферические	Евклидовы	Гиперболические мозаики
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

См. также

• Призма