Теорема Банаха об обратном операторе

Теорема Банаха об обратном операторе — один из трёх основных принципов «банаховой» теории линейных операторов (два других — теорема Хана — Банаха и принцип равномерной ограниченности).[1]

Формулировка

править

Если ограниченный линейный оператор   отображает всё банахово пространство   на всё банахово пространство   взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный оператор  , обратный оператору  , отображающий   на  .[2]

Следствия

править

Теорема об открытом отображении

править

Линейное непрерывное отображение   банахова пространства   на всё банахово пространство   открыто.[3]

Лемма о тройке

править

Пусть   — банаховы пространства и  ,   — линейные непрерывные операторы, причем   отображает   на всё   (то есть  ). Если при этом

 

то существует такой линейный непрерывный оператор  , что  .

Здесь   — ядро,   — образ оператора  . Символически утверждение леммы о тройке удобно изобразить такой схемой:[4]

 

Примечания

править
  1. Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
  2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 159.
  3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 227.
  4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 228.

Литература

править
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
  • Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
  • Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.