Теорема Банаха — Мазура

Теорема Банаха — Мазура утверждает, что нормированные пространства являются подпространствами пространства непрерывных функций на отрезке. Названа в честь Стефана Банаха и Станислава Мазура.

Формулировка

Любое вещественное сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно замкнутому подпространству пространства всех непрерывных функций от единичного интервала до вещественной прямой.

Вариации и обобщения

Несепарабельные банаховы пространства не могут изометрически вкладываться в сепарабельное пространство $C^{0}([0,1],\mathbb {R} )$, но для каждого банахова пространства X можно найти компактное хаусдорфово пространство K и изометрическое линейное вложение j из X в пространство C(K) вещественных непрерывных функций на K. За K можно взять единичный шар двойственного пространства X ′, оснащенного w *-топологией. Этот шар компактен по теореме Алаоглу. Вложение определяется как

$\forall x'\in K:\qquad j(x)(x')=x'(x).$

Отображение j является линейным, и оно изометрично по теореме Хана — Банаха.

Литература

Агеев С.М., Богатый С.А. О негомеоморфности компакта Банаха-Мазура и гильбертова куба // УМН. — 2007. — Т. 53, № 1. — С. 209—210.