Интеграл Норлунда — Райса (метод Райса) — интеграл, связывающий конечных разностей с криволинейным интегралом в комплексной плоскости. Интеграл используется в теории конечных разностей, а также в Информатике и теории графов для оценки длины двоичного дерева.

Интеграл назван в честь Нильса Э. Норлунда и Стефана О. Райса; Норлунд определил интеграл; Райс нашёл ему применение в методе перевала.

Определение

править

Для мероморфной функции    конечную разность   можно представить в виде:

 
где
  — Биномиальный коэффициент.

Переходя к интегрированию в окрестности полюсов точек   и при условии, что функция   полюсов не имеет, получим:

 
для  .

Интеграл также можно записать в виде:

 
где
  — бета-функция Эйлера.

Если функция   полиномиально ограничена, например, справа, то интеграл можно продлить направо до бесконечности, получив запись:

 
где
 

Цикл Пуассона — Меллина — Ньютона

править

Пусть   — некая последовательность и пусть   — некая производящая функция последовательности, причём  

Используя преобразование Меллина, получим, что

 

Тогда можно найти исходную последовательность с помощью интеграла Норлунда — Райса:

 
где
  — гамма-функция.

Применение

править

Это интегральное представление интересно тем, что интеграл Норлунда — Райса часто может быть оценён с использованием методов асимптотического разложения или методом перевала.

См. также

править

Литература

править