Открыть главное меню

Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики.

Последовательность названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана, хотя была известна ещё Леонарду Эйлеру.

Числа Каталана для образуют последовательность:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, … (последовательность A000108 в OEIS)

ОпределенияПравить

n-е число Каталана   можно определить несколькими эквивалентными способами, такими как[1]:

  • Количество кортежей   из n натуральных чисел, таких, что   и   при  .
  • Количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n + 1 листьями.
  • Количество всевозможных способов линеаризации декартова произведения 2 линейных упорядоченных множеств: из 2 и из n элементов.

СвойстваПравить

  • Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:
      и   для  .
Это соотношение легко получается из того, что любая непустая правильная скобочная последовательность однозначно представима в виде w = (w1)w2, где w1, w2 — правильные скобочные последовательности.
  • Есть ещё одно рекуррентное соотношение:
  и  .
  • Ещё одна рекуррентная формула:
  и  . Если положить  , то получается удобная для вычислений рекурсия  ,  .
Отсюда следует:  .
  • Также существует более простое рекуррентное соотношение:
      и  .
  • Производящая функция чисел Каталана равна:
     
  • Числа Каталана можно выразить через биномиальные коэффициенты:
     
Другими словами, число Каталана   равно разности центрального биномиального коэффициента и соседнего с ним в той же строке треугольника Паскаля.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. А. Спивак. Числа Каталана. — МЦНМО.

СсылкиПравить