p-адическое число[1] — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.
p-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году[2].
Поле p-адических чисел обычно обозначается или .
Алгебраическое построение
правитьЦелые p-адические числа
правитьСтандартное определение
правитьЦелым p-адическим числом для заданного простого p называется[3] бесконечная последовательность вычетов по модулю , удовлетворяющих условию:
Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается .
Определение через проективный предел
правитьВ терминах проективных пределов кольцо целых -адических чисел определяется как предел
колец вычетов по модулю относительно естественных проекций .
Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа , но и любого составного числа — получится т. н. кольцо -адических чисел, но это кольцо в отличие от обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.
Свойства
правитьОбычные целые числа вкладываются в очевидным образом: и являются подкольцом.
Беря в качестве элемента класса вычетов число (таким образом, ), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое в p-ичной системе счисления и, учитывая, что , возможно всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления . Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.
В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).
p-адические числа
правитьОпределение как поля частных
правитьp-адическим числом называется элемент поля частных кольца целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.
Свойства
правитьПоле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.
Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число, не кратное p, обратимо в кольце , а кратное p однозначно записывается в виде , где x не кратно p и поэтому обратимо, а . Поэтому любой ненулевой элемент поля может быть записан в виде , где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности , то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.
Метрическое построение
правитьЛюбое рациональное число можно представить как где и целые числа, не делящиеся на , а — целое. Тогда — -адическая норма — определяется как . Если , то .
Поле -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой , определённой -адической нормой: . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.
Норма продолжается по непрерывности до нормы на .
Свойства
править- Каждый элемент x поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда
- где — некоторое целое число, а — целые неотрицательные числа, не превосходящие . А именно, в качестве здесь выступают цифры из записи x в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике к самому .
- p-адическая норма удовлетворяет сильному неравенству треугольника
- Числа с условием образуют кольцо целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел в норме .
- Числа с условием образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
- Совокупность чисел с условием является главным идеалом в с образующим элементом p.
- Метрическое пространство гомеоморфно канторову множеству, а пространство гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
- Для различных p нормы независимы, а поля неизоморфны.
- Для любых элементов , , , , , … таких, что и , можно найти последовательность рациональных чисел таких, что для любого p выполнено и .
Применения
править- Если — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех сравнения
- эквивалентна разрешимости уравнения
- в целых -адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях -адических чисел при всех , а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.
- На практике для проверки разрешимости уравнения в целых -адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений . Например, согласно лемме Гензеля, при достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных служит наличие простого решения у сравнения по модулю (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю ). Иначе говоря, при для проверки наличия корня у уравнения в целых -адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при .
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т. п.
- ↑ Kurt Hensel. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6, № 3. — С. 83—88. (нем.)
- ↑ Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, 1985, с. 25—28..
- ↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993
- ↑ Владимиров В. С. «Обобщённые функции над полем p-адических чисел» // УМН, 1988, т. 43 (5), с. 17-53
- ↑ Владимиров В. С. О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770—789
- ↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659—676
- ↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43-53
- ↑ Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275—302, (1990)
- ↑ Volovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83-L84
- ↑ Frampton P. H. Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — isbn 5-02-007023-8 — С. 287—291.
Литература
править- Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
- Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
- Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
- Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю. 2-адические числа // Квант. — 1979. — № 2. — С. 26—31.
- Конрад К. Введение в p-адические числа Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна