p-адическое число

p-адическое число^[1] — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.

p-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году^[2].

Поле p-адических чисел обычно обозначается $\mathbb {Q} _{p}$ или $\mathbf {Q} _{p}$ .

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Стандартное определение

Целым p-адическим числом для заданного простого p называется^[3] бесконечная последовательность $x=\{x_{1},x_{2},\ldots \}$ вычетов $x_{n}$ по модулю $p^{n}$ , удовлетворяющих условию:

x_{n}\equiv x_{n+1}{\pmod {p^{n}}}.

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается $\mathbb {Z} _{p}$ .

Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых $p$ -адических чисел определяется как предел

\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}

колец $\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$ вычетов по модулю $p^{n}$ относительно естественных проекций $\mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$ .

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа $p$ , но и любого составного числа $m$ — получится т. н. кольцо $m$ -адических чисел, но это кольцо в отличие от $\mathbb {Z} _{p}$ обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства

Обычные целые числа вкладываются в $\mathbb {Z} _{p}$ очевидным образом: $x=\{x,x,\ldots \}$ и являются подкольцом.

Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Беря в качестве элемента класса вычетов число $a_{n}=x_{n}\,{\bmod {\,}}{p^{n}}$ (таким образом, $0\leq a_{n}<p^{n}$ ), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде $x=\{a_{1},a_{2},\ldots \}$ однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое $a_{n}$ в p-ичной системе счисления $a_{n}=b_{n}\ldots b_{2}b_{1}$ и, учитывая, что $a_{n}\equiv a_{n+1}{\pmod {p^{n}}}$ , возможно всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде $x=\{b_{1},b_{2}b_{1},b_{3}b_{2}b_{1},\ldots \}$ или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления $x=\{\ldots b_{n}\ldots b_{2}b_{1}\}$ . Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

p-адические числа

Определение как поля частных

p-адическим числом называется элемент поля частных $\mathbb {Q} _{p}$ кольца $\mathbb {Z} _{p}$ целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

Свойства

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Пример выполнения деления 5-адических чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число, не кратное p, обратимо в кольце $\mathbb {Z} _{p}$ , а кратное p однозначно записывается в виде $xp^{n}$ , где x не кратно p и поэтому обратимо, а $n>0$ . Поэтому любой ненулевой элемент поля $\mathbb {Q} _{p}$ может быть записан в виде $xp^{n}$ , где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности $x=\{\ldots b_{k}\ldots b_{2}b_{1},b_{0}b_{-1}\ldots b_{n+1}\}$ , то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение

Любое рациональное число $r$ можно представить как $r=p^{n}{\frac {a}{b}}$ где $a$ и $b$ целые числа, не делящиеся на $p$ , а $n$ — целое. Тогда $|r|_{p}$ — $p$ -адическая норма $r$ — определяется как $p^{-n}$ . Если $r=0$ , то $|r|_{p}=0$ .

Поле $p$ -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой $d_{p}$ , определённой $p$ -адической нормой: $d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}$ . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма $|r|_{p}$ продолжается по непрерывности до нормы на $\mathbb {Q} _{p}$ .

Свойства

Каждый элемент x поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда

x=\sum _{i=n_{0}}^{\infty }a_{i}p^{i}

где

n_{0}

— некоторое целое число, а

a_{i}

— целые неотрицательные числа, не превосходящие

p-1

. А именно, в качестве

a_{i}

здесь выступают цифры из записи x в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике

d_{p}

к самому

x

.

p-адическая норма $|x|_{p}$ удовлетворяет сильному неравенству треугольника

|x-z|_{p}\leq \max \left\{|x-y|_{p},|y-z|_{p}\right\}.

Числа $x\in \mathbb {Q} _{p}$ с условием $|x|_{p}\leq 1$ образуют кольцо $\mathbb {Z} _{p}$ целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ в норме $|x|_{p}$ .
Числа $x\in \mathbb {Q} _{p}$ с условием $|x|_{p}=1$ образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
Совокупность чисел $x\in \mathbb {Q} _{p}$ с условием $|x|_{p}<1$ является главным идеалом в $\mathbb {Z} _{p}$ с образующим элементом p.

Метрическое пространство $(\mathbb {Z} _{p},d_{p})$ гомеоморфно канторову множеству, а пространство $(\mathbb {Q} _{p},d_{p})$ гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
Для различных p нормы $|x|_{p}$ независимы, а поля $\mathbb {Q} _{p}$ неизоморфны.
Для любых элементов $r_{\infty }$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ , $r_{5}$ , $r_{7}$ , … таких, что $r_{\infty }\in \mathbb {R}$ и $r_{p}\in \mathbb {Q} _{p}$ , можно найти последовательность рациональных чисел $x_{n}$ таких, что для любого p выполнено $|x_{i}-r_{p}|_{p}\to 0$ и $|x_{i}-r_{\infty }|\to 0$ .

Применения

Если $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех $k$ сравнения

F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

эквивалентна разрешимости уравнения

F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0

в целых

p

-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях

p

-адических чисел при всех

p

, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

На практике для проверки разрешимости уравнения в целых

p

-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений

k

. Например, согласно лемме Гензеля, при

n=1

достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных

k

служит наличие простого решения у сравнения по модулю

p

(то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю

p

). Иначе говоря, при

n=1

для проверки наличия корня у уравнения в целых

p

-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при

k=1

.

$p$ -адические числа находят широкое применение в теоретической физике^[4]. Известны $p$ -адические обобщённые функции^[5], p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова)^[6], p-адическая квантовая механика^[7]^[8], p-адическая спектральная теория^[9], p-адическая теория струн^[10]^[11]

См. также

Примечания

↑ Произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т. п.
↑ Kurt Hensel. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6, № 3. — С. 83—88. (нем.)
↑ Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, 1985, с. 25—28..
↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993
↑ Владимиров В. С. «Обобщённые функции над полем p-адических чисел» // УМН, 1988, т. 43 (5), с. 17-53
↑ Владимиров В. С. О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770—789
↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659—676
↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43-53
↑ Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275—302, (1990)
↑ Volovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83-L84
↑ Frampton P. H. Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — isbn 5-02-007023-8 — С. 287—291.

Литература

Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю. 2-адические числа // Квант. — 1979. — № 2. — С. 26—31.
Конрад К. Введение в p-адические числа Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна

[1] Произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т. п.

[2] Kurt Hensel. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6, № 3. — С. 83—88. (нем.)

[_221bf300935b26f6-3] Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, 1985, с. 25—28..

[4] Vladimiriv V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993

[5] Владимиров В. С. «Обобщённые функции над полем p-адических чисел» // УМН, 1988, т. 43 (5), с. 17-53

[6] Владимиров В. С. О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770—789

[7] Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659—676

[8] Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43-53

[9] Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275—302, (1990)

[10] Volovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83-L84

[11] Frampton P. H. Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — isbn 5-02-007023-8 — С. 287—291.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]