Локальное поле

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

ОпределениеПравить

Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.

ТипыПравить

Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.

Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:

СвойстваПравить

Общие свойстваПравить

для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества   с ненулевой конечной мерой Хаара.

Неархимедовы поляПравить

  • В неархимедовом локальном поле   с абсолютной величиной   можно дать следующие определения:
    • Кольцо целых чисел
       
      • Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в  .
    • Единицы в кольце целых чисел определяются как  .
      • Они образуют группу и единичную сферу в  .
    • Единственный ненулевой простой идеал   в кольце целых чисел является открытым единичным шаром
       
и его образующий элемент   называется униформизирующим элементом  .
  • Поле остатков   является конечным, поскольку компактно и дискретно.
  • При этом  , где   — мощность поля остатков  .
  • Каждый ненулевой элемент   можно записать как  , где   — единичный элемент,   — целое число, определяемое однозначно по  .
    • В частности  

См. такжеПравить

Глобальное поле