Взаимодействие четвёртой степени

Взаимодействие четвёртой степени (фи-в-четвёртой теория, φ⁴-теория, четверное взаимодействие) — раздел квантовой теории поля, где скалярное поле обладает самодействием в виде φ⁴. Другие типы взаимодействий четвёртой степени можно найти в разделе четырёхфермионных взаимодействий. Классическое свободное скалярное поле $\varphi$ удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона. Если скалярное поле обозначено $\varphi$, взаимодействие четвёртой степени добавляет потенциальную энергию поля в виде $({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}$ к лагранжевой плотности. Константа связи $\lambda$ безразмерна в 4-мерном пространстве-времени.

В этой статье используется $(+,-,-,-)$ сигнатура пространства Минковского.

Лагранжиан для вещественного скалярного поля

Плотность лагранжиана для вещественного скалярного поля с взаимодействием четвёртой степени равна

${\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.$

Этот лагранжиан обладает глобальной симметрией отражения Z₂ $\varphi \to -\varphi$.

Лагранжиан для комплексного скалярного поля

Лагранжиан для комплексного скалярного поля можно обосновать следующим образом. Для двух скалярных полей $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ лагранжиан имеет вид

${\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},$

которое можно записать в более сжатой форме, вводя комплексное скалярное поле $\phi$ определяемое как

$\phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),$

$\phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).$

Выраженный в новых переменных (комплексного скалярного поля), приведённый выше лагранжиан принимает вид

${\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},$

что, таким образом, эквивалентно SO(2) модели вещественных скалярных полей $\varphi _{1},\varphi _{2}$, в чём можно убедиться, разложив комплексное поле $\phi$ по действительной и мнимой частям.

С участием $N$ вещественных полей, можно построить $\varphi ^{4}$-модель с глобальной симметрией SO(N), заданной лагранжианом

${\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.$

Разложение комплексного поля на действительную и мнимую части показывает, что оно эквивалентно SO(2)-модели вещественных скалярных полей.

Во всех приведённых выше моделях константа связи $\lambda$ должна быть положительной, так как в противном случае потенциал был бы неограничен снизу и устойчивого вакуума не существовало бы. Кроме того, интеграл Фейнмана по путям, обсуждаемый ниже, был бы плохо определён. В 4-х измерениях, $\phi ^{4}$ теории имеют полюс Ландау. Это означает, что без обрезания на высоких энергиях перенормировка сделала бы эту теорию тривиальной.

Континуальный интеграл

Разложение по диаграммам Фейнмана можно также получить из через интеграл по траекториям. Упорядоченные по времени вакуумные средние значения полиномов от φ, известные как n-частичные функции Грина, строятся путём интегрирования по всем возможным полям, нормированных значением вакуумного среднего без внешних полей,

$\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.$

Все эти функции Грина получаются путём разложения экспоненты по J(x)φ(x) в производящую функцию

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .$

Вращение Вика задаёт переход к мнимому времени. Затем изменение сигнатуры на (++++) даёт интеграл статистической механики φ⁴-теории по 4-мерному евклидову пространству,

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.$

Обычно это применяется к рассеянию частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае полезно использовать преобразование Фурье, чир даёт

${\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.$

куда $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака.

Стандартный трюк для вычисления этого функционального интеграла состоит в том, чтобы записать его как произведение экспоненциальных множителей, схематично,

${\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].$

Вторые два экспоненциальных множителя можно разложить в степенной ряд, а комбинаторику этого разложения можно представить графически. Интеграл с λ = 0 рассматривают как произведение бесконечного числа элементарных интегралов Гаусса, а результат можно выразить в виде суммы диаграмм Фейнмана, рассчитанных с использованием следующих правил Фейнмана:

• Каждое поле ${\tilde {\phi }}(p)$ в n -точечной евклидовой функции Грина представлена внешней линией на графике и связано с импульсом p.
• Каждая вершина представлена фактором -λ.
• При заданном порядке λ^k все диаграммы с n внешними линиями и k вершинами строятся так, что импульсы, входящие в каждую вершину, равны нулю. Каждая внутренняя линия представлена коэффициентом 1/(q² + m²), где q — импульс, протекающий через эту линию.
• Любые неограниченные импульсы интегрируются по всем значениям.
• Результат делится на коэффициент симметрии, который представляет собой количество способов перестановки линий и вершин графа без изменения его связности.
• Не включать графы, содержащие «вакуумные пузыри», связные подграфы без внешних линий.

Последнее правило учитывает эффект деления на ${\tilde {Z}}[0]$. Правила Фейнмана в пространстве Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена $-i\lambda$, а каждая внутренняя линия представлена множителем i/(q² — m² + iε), где член ε представляет небольшое вращение Вика, необходимое для сходимости интеграла Гаусса в пространстве Минковского.

Перенормировка

Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми вкладами», на диаграммах Фейнмана обычно расходятся. Это обычно устраняется перенормировкой, которая представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, что диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контрчленов, конечны. При этом необходимо вводить масштаб перенормировки, от которого становятся зависимыми константа связи и масса. Именно эта зависимость приводит к упомянутому ранее полюсу Ландау и требует, чтобы обрезание приводило к конечным интегралам. В качестве альтернативы, если отсечение может уйти в бесконечность, полюса Ландау можно избежать, только если перенормированная связь стремится к нулю, что делает теорию тривиальной.

Спонтанное нарушение симметрии

Интересная особенность может возникнуть, если m² становится отрицательным, но λ остаётся положительным. В этом случае вакуум состоит из двух состояний с наименьшей энергией, каждое из которых спонтанно нарушает глобальную симметрию Z₂ исходной теории. Это приводит к появлению интересных коллективных состояний, таких как доменные стенки. В теории O(2) вакуум располагался бы на окружности, и выбор одного из них спонтанно нарушил бы симметрию O(2). Непрерывная нарушенная симметрия приводит к появлению новой частицы бозона Голдстоуна. Этот тип спонтанного нарушения симметрии является существенным компонентом механизма Хиггса.

Спонтанное нарушение дискретных симметрий

Простейшая релятивистская система, в которой наблюдается спонтанное нарушение симметрии, — это система с одним скалярным полем $\varphi$ с лагранжианом

${\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),$

где $\mu ^{2}>0$ и

$V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.$

Минимизируя потенциал по переменной $\varphi$ приводит к

$V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.$

Теперь мы расширим поле вокруг этого минимального записав

$\varphi (x)=v+\sigma (x),$

и подставив в лагранжиан получим

${\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.$

где скаляр $\sigma$ теперь имеет положительный массовый член.

Думая в терминах значений вакуумного среднего позволяет нам понять, что происходит с симметрией, когда она спонтанно нарушается. Исходный лагранжиан был инвариантным относительно $Z_{2}$ симметрии $\varphi \rightarrow -\varphi$. С

$\langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}$

оба минимума, должно существовать два разных вакуума: $|\Omega _{\pm }\rangle$ с участием

$\langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.$

Поскольку $Z_{2}$ симметрия означает $\varphi \rightarrow -\varphi$, это должно также относиться к $|\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle$. Два возможных вакуума для теории эквивалентны, но нужно выбрать один. Хотя кажется, что в новом лагранжиане $Z_{2}$ симметрия исчезла, она всё ещё есть, но теперь она действует как $\sigma \rightarrow -\sigma -2v.$ Это общая черта спонтанно нарушенных симметрий: их нарушает вакуум, но в лагранжиане они фактически не нарушены, а просто скрыты и часто реализуются только нелинейным образом.

Точные решения

Существует множество точных классических решений уравнения движения теории, записанных в виде

$\partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0$

что можно написать для безмассового, $\mu _{0}=0$ случай как

$\varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,-1),$

где $\,{\rm {sn\!}}$ — эллиптическая функция Якоби и $\,\mu ,\theta$ — константы интегрирования с учётом следующего дисперсионного соотношения

$p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.$

Интересно, что мы начали с безмассового уравнения, но точное решение описывает волну с законом дисперсии, соответствующим решению для массивного поля. Когда массовый член не равен нулю, получается

$\varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)$

теперь дисперсионное соотношение

$p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.$

Наконец, для случая нарушения симметрии

$\varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),$

существование $v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}$ и имеет место следующее дисперсионное соотношение

$p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.$

Эти волновые решения интересны тем, что, несмотря на то, что мы начали с уравнения с неправильным знаком массы, дисперсионное соотношение имеет правильный знак. Кроме того, функция Якоби $\,{\rm {dn}}\!$ не имеет действительных нулей, и поэтому поле никогда не равно нулю, а движется вокруг заданного постоянного значения, которое изначально выбрано для описания спонтанного нарушения симметрии.

Доказательство единственности можно получить, если учесть, что решение можно искать в виде $\varphi =\varphi (\xi )$, где $\xi =p\cdot x$. Тогда уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, которое определяет эллиптическую функцию Якоби с $p$ удовлетворяющие правильному дисперсионному соотношению.

Литература

• 't Hooft, G., «The Conceptual Basis of Quantum Field Theory» (online version).
• Bazghandi, Mustafa (August 2019). "Lie symmetries and similarity solutions of phi-four equation". Indian Journal of Mathematics. 61 (2): 187—197.