Открыть главное меню

Конгруэнция — отношение эквивалентности на алгебраической системе, сохраняющееся при основных операциях. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую факторсистему — разбиение исходной алгебраической системы на классы эквивалентности по отношению к конгруэнции.

ОпределениеПравить

Отношение   на множестве   называется стабильным относительно  -арной операции  , определённой на этом множестве, если для любых элементов   ( ) множества   из истинности отношений   ( ) вытекает истинность отношения  .

Отношение   называется конгруэнцией на алгебраической системе  , если оно стабильно относительно каждой главной операции системы  . (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы  .)

ФакторсистемаПравить

Основная статья: Факторсистема

Для алгебраической системы   на фактормножестве   по конгруэнции   для всех операций   и отношений   естественным образом вводятся операции и отношения над соответствующими классами смежности:

 ,
 .

Получающаяся система обозначается   и называется факторсистемой, а отображение  , определяемое правилом   — каноническим эпиморфизмом.

Множество всех конгруэнций данной системы   образует полную решётку относительно операций объединения и пересечения, а также задает отношение включения:

 .

Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы   имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

 .

ЛитератураПравить