Цепной комплекс

Цепно́й компле́кс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.

Эти понятия первоначально использовались в алгебраической топологии для изучения топологических пространств. В гомологической алгебре рассматриваются как абстрактные алгебраические структуры, безотносительно к какому-либо топологическому пространству.

Для цепных комплексов определяются их группы гомологий (группы когомологий для коцепных комплексов). Цепные комплексы также могут быть определены в произвольной абелевой категории.

Определения

Цепным комплексом называется последовательность $(K_{\bullet },\partial _{\bullet })$ модулей и гомоморфизмов $\partial _{n}:K_{n}\to K_{n-1}$, называемых граничными операторами или дифференциалами:

$\ldots {\xleftarrow {}}K_{n-1}{\xleftarrow {\partial _{n}}}K_{n}{\xleftarrow {\partial _{n+1}}}K_{n+1}{\xleftarrow {}}\ldots$,

такая что $\partial _{n}\partial _{n+1}=0$. Элементы $K_{n}$ называются $n$-мерными цепями, элементы ядра $Z_{n}K=\operatorname {Ker} \partial _{n}$ — $n$-мерными циклами, элементы образа $B_{n}K=\operatorname {Im} \partial _{n+1}$ — $n$-мерными границами. Из $\partial _{n}\partial _{n+1}=0$ следует, что $B_{n}K\subset Z_{n}K$ (полуточность). Если к тому же $B_{n}K=Z_{n}K$, то такой комплекс называется точным.

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами $\varphi _{\bullet }\colon (K_{\bullet },\partial _{\bullet }^{K})\to (L_{\bullet },\partial _{\bullet }^{L})$, где $\varphi _{\bullet }$ последовательность морфизмов $\varphi _{n}\colon K_{n}\to L_{n}$, такая что $\varphi _{n}$ коммутирует с дифференциалом, то есть $\partial _{n}^{L}\varphi _{n}=\varphi _{n-1}\partial _{n}^{K}$.

Цепной комплекс также можно определить как градуированный модуль $M_{*}$, снабжённый дифференциалом $\partial :M_{*}\to M_{*}$ степени −1.

Также можно определить комплексы, состоящие из объектов произвольной абелевой категории, например, категории пучков абелевых групп.

Коцепной комплекс

Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей $(\Omega ^{\bullet },d^{\bullet })$ и гомоморфизмов $d^{n}\colon \Omega ^{n}\to \Omega ^{n+1}$, таких что

$d^{n+1}d^{n}=0$

Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.

$\ldots {\xrightarrow {}}\Omega ^{n-1}{\xrightarrow {d^{n-1}}}\Omega ^{n}{\xrightarrow {d^{n}}}\Omega ^{n+1}{\xrightarrow {d^{n+1}}}\ldots$

Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.

Гомологии и когомологии

Основные статьи: Гомологии и Когомологии

n-мерная группа гомологий $H_{n}$ цепного комплекса $(K_{\bullet },\partial _{\bullet })$ является его мерой точности в n-ом члене и определяется как

$H_{n}(K_{\bullet },\partial _{\bullet })=Z_{n}(K)/B_{n}(K)=\mathrm {Ker} \,\partial _{n}/\mathrm {Im} \,\partial _{n+1}$. Для точного комплекса $H_{n}=0$

Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:

$H^{n}(\Omega ^{\bullet },d^{\bullet })=Z^{n}(\Omega )/B^{n}(\Omega )=\mathrm {Ker} \,d^{n}/\mathrm {Im} \,d^{n-1}$

Гомоморфизмы цепных комплексов

Гомоморфизмом цепных комплексов $(A^{\bullet },\delta ^{\bullet })$ и $(B^{\bullet },\gamma ^{\bullet })$ называется такое отображение $f\colon A_{n}\to B_{n},\forall n\in \mathbb {N} ,$ что следующая диаграмма оказывается коммутативной:

Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.

Тензорное произведение комплексов и внутренний Hom

Если V = V${}_{*}$ и W = W${}_{*}$ — цепные комплексы, то их тензорное произведение $V\otimes W$ — это цепной комплекс, элементы степени i которого имеют вид

$(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\{j,k|j+k=i\}}V_{j}\otimes W_{k},$

а дифференциал задаётся формулой

$\partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b,$

где a и b — произвольные однородные элементы V и W соответственно, а $\left|a\right|$ обозначает степень элемента a.

Это тензорное произведение позволяет снабдить категорию цепных комплексов K-модулей ${\text{Ch}}_{K}$ (для произвольного коммутативного кольца K) структурой симметричной моноидальной категории. Операция заузливания задаётся на разложимых тензорах формулой

$a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a$.

Знак необходим для того, чтобы операция заузливания была гомоморфизмом цепных комплексов. Более того, в категории цепных комплексов K-модулей имеется внутренний Hom: для цепных комплексов V и W, внутренний Hom для V и W, обозначаемый hom(V,W), — это цепной комплекс, элементы степени n которого имеют вид $\Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})$, а дифференциал задаётся формулой

$(\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))$.

Имеется естественный изоморфизм

${\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))$.

Цепная гомотопия

Основная статья: Цепная гомотопия

Цепная гомотопия $D\colon X\to Y$ между гомоморфизмами комплексов $f$ и $g$ — это такой гомоморфизм цепных комплексов $(X^{\bullet },\partial ^{\bullet })$ и $(Y^{\bullet },\delta ^{\bullet })$ степени +1 (то есть $D_{k}\colon X_{k}\to Y_{k+1}$), для которого

$\delta D+D\partial =g-f$

$\delta _{k+1}D_{k}+D_{k-1}\partial _{k}=g_{k}-f_{k}$

Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид

Литература

• Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры, — М.: 1961. (Б-ка сборника «Математика»).
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — М.: Мир, 1976.
• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — М.: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
• Маклейн С. Гомология, — М.: Мир, 1966.