Матрица Картана

В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы по имени французского математика Эли Картана. Фактически, матрицы Картана в контексте алгебр Ли впервые исследовал Вильгельм Киллинг, в то время как форма Киллинга принадлежит Картану.

Алгебры ЛиПравить

Обобщённая матрица Картана — это квадратная матрица   с целыми элементами, такая что

  1. Диагональные элементы aii = 2.
  2. Недиагональные элементы  .
  3.   тогда и только тогда, когда  .
  4. A может быть записана в виде DS, где D — диагональная матрица, а S является симметричной.

Например, матрицу Картана для G2 можно разложить следующим образом:

 

Третье условие не является независимым и является следствием первого и четвёртого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в разложении является положительно определённой, то говорят, что A является матрицей Картана.

Матрица Картана простой алгебры Ли — это матрица, элементы которой являются скалярными произведениями

 

(иногда называемыми целыми числами Картана), где ri — система корней алгебры. Элементы являются целыми ввиду одного из свойств системы корней. Первое условие вытекает из определения, второе — из факта, что для   является корнем, который является линейной комбинацией простых корней ri и rj с положительным коэффициентом для rj, а тогда коэффициент при ri должен быть неотрицательным. Третье условие верно ввиду симметричности отношения ортогональности. И, наконец, пусть   и  . Поскольку простые корни линейно независимы, то S является их матрицей Грама (с коэффициентом 2), а потому является положительно определённой.

И обратно, если дана обобщённая матрица Картана, можно найти соответствующую ей алгебру Ли (см. подробности в статье Алгебра Каца — Муди[en]).

КлассификацияПравить

Матрица A размером   является разложимой, если существует непустое подмножество   такое, что   для всех   и  . A является неразложимой, если это условие не выполняется.

Пусть A — неразложимая обобщённая матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип, если все её главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип, если все её собственные главные миноры положительны и определитель матрицы A равен 0 и что A имеет неопределённый тип в остальных случаях.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют простые группы Ли конечной размерности (типа  ), в то время как неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли[en] (над некоторыми алгебраически замкнутими полями с характеристикой 0).

Определители матриц Картана простых алгебр ЛиПравить

Определители матриц Картана простых алгебр Ли даны в таблице.

   ,    ,    ,    ,      
n+1 2 2 4 9-n 1 1

Другое свойство этого определителя — он равен индексу ассоциированной системы корней, то есть он равен  , где   обозначают весовую решётку[en] и корневую решётку соответственно.

Представления конечномерных алгебрПравить

В теории модулярных представлений[en] и в более общей теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр, не являющихся полупростыми[en], матрица Картана определяется путём рассмотрения (конечного) множества главных неразложимых модулей[en] и написания композиционных рядов[en] для них в терминах простых модулей, получая матрицу целых чисел, содержащую число вхождений простого модуля.

Матрицы Картана в M-теорииПравить

В М-теории можно представить геометрию как предел двуциклов, которые пересекают друг друга в конечном числе точек, при стремлению площади двуциклов к нулю. В пределе возникает группа локальной симметрии. Матрица индексов пересечения базиса двуциклов, гипотетически, является матрицей Картана алгебры Ли этой группы локальной симметрии[1].

Это можно объяснить следующим образом: в M-теории имеются солитоны, являющиеся двумерными поверхностями, называемыми мембранами или 2-бранами. 2-браны имеют натяжение и потому стремятся к уменьшению, но они могут быть обёрнуты вокруг двуциклов, предотвращающих схлапывание мембран до нуля.

Можно осуществить компактификацию[en] одной размерности, в которой находятся все двуциклы и их точки пересечения, и взять предел, при котором размерность схлапывается до нуля, тем самым получая понижение по этой размерности. Тогда получаем теорию струн типа IIA как предел M-теории с 2-бранами, оборачивающими двуциклы, теперь представленными как открытые струны, натянутые между D-бранами. Имеется группа локальной симметрии U(1) для каждой D-браны, подобная степеням свободы движения без изменения ориентации. Предел, где двуциклы имеют нулевую площадь, является пределом, где эти D-браны находятся на вершине друг друга.

Открытая струна, натянутая между двумя D-бранами представляет генератор алгебры Ли, и коммутатор двух таких генераторов является третьим генератором, представленным открытой струной, который можно получить путём склеивания рёбер двух открытых струн. Дальнейшие связи между различными открытыми струнами зависит от способа, которым 2-браны могут пересекаться в исходной M-теории, то есть в числе пересечений двуциклов. Таким образом, алгебра Ли зависит полностью от этих чисел пересечения. Связь с матрицей Картана предполагается, потому что она описывает коммутаторы простых корней, которые связаны с двуциклами в выбранном базисе.

Заметим, что генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми струнами, которые натянуты между D-браной и той же браной.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ashoke Sen. A Note on Enhanced Gauge Symmetries in M- and String Theory // Journal of High Energy Physics. — IOP Publishing, 1997. — Т. 1997, вып. 9. — doi:10.1088/1126-6708/1997/09/001.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить