Последовательность Майера — Вьеториса

Последовательность Майера — Вьеториса естественная длинная точная последовательность, связывающая гомологии пространства с гомологиями двух покрывающих его открытых множеств и их пересечения.

Последовательность Майера — Вьеториса можно написать для различных теорий  гомологий, в том числе сингулярных, а также для всех теорий, удовлетворяющих аксиомам Стинрода — Эйленберга.

Названа в честь двух австрийских математиков, Вальтера Майера и Леопольда Вьеториса.

Формулировка

править

Предположим, топологическое пространство   представляется как объединение открытых подмножеств   и  . Последовательность Майера — Вьеториса:

 
 
Отображения границы ∂* на торе, где 1-цикл x = u + v — сумма двух 1-цепей, граница которых лежит в пересечении A и B.

Здесь отображения  ,  ,  ,   — отображения включения, и   обозначает прямую сумму абелевых групп.

Отображение границы  , понижающее размерность, может быть определено следующим образом. Элемент в   представляется  -циклом  , который может быть записан как сумма двух  -цепей   и  , образы которых лежат полностью в   и  , соответственно. Этого можно добиться, применив к   барицентрическое подразделение несколько раз.

Таким образом,  , так что  . Заметим, что обе границы   и   лежат в  . Тогда   определяется как класс  . При этом выбор разложения   не влияет на значение  .

Замечания

править
  • Отображения в последовательности зависят от выбора порядка для   и  .
    • В частности, отображение границы меняет знак, если   и   меняются местами.

Приложения

править

Гомологии сферы

править
 
Разложение сферы

Чтобы вычислить гомологии k-мерной сферы, представим сферу   как объединение двух k-мерных дисков   и   с пересечением, гомотопически эквивалентным  -мерной экваториальной сфере  . Поскольку   и   стягиваемы, из последовательности Майера — Вьеториса следует точность последовательностей

 

при  . Точность сразу влечёт, что гомоморфизм ∂* является изоморфизмом при  . Следовательно,

 , если  ,
иначе  

Бутылка Клейна

править
 
Разложение Бутылки Клейна  на две ленты Мебиуса, красную и синюю.

Для вычисления гомологий бутылки Клейна представим её, как объединение двух лент Мебиуса   и  , склеенных вдоль их граничной окружности. Тогда  ,   и их пересечение   гомотопически эквивалентны окружности.  Нетривиальная часть последовательности дает

 

Тривиальная часть влечёт обнуление гомологий в размерностях 3 и выше. Заметим, что  , поскольку граничная окружность листа Мёбиуса оборачивается дважды вокруг его средней линии. В частности,   инъективен. Следовательно,  . Выбирая базис (1, 0) и (1, 1) в  , получаем

 

Вариации и обобщения

править
  • Редуцированные гомологии также удовлетворяют последовательности Майера — Вьеториса в предположении, что   и   имеют непустое пересечение. Эта последовательность идентична обычной, но заканчивается следующим образом:
     
  • Для относительных гомологий последовательность выглядит следующим образом:
     

См. также

править