Преобразование Фолди — Ваутхайзена

Преобразование Фолди — Ваутхайзена (представление Фолди — Ваутхайзена, преобразование ФВ, преобразование FW) — унитарное преобразование, которое позволяет представить уравнение Дирака (для биспиноров) в виде пары двухкомпонентных уравнений (спиноров), которые в нерелятивистском пределе переходят в уравнение Паули и уравнение для отрицательных энергий. Имело историческое значение, применялось для решения парадоксов, возникающих в теори Дирака, и интерпретации операторов координаты, скорости, спина, момента импульса. Было сформулировано Лесли Лоуренсом Фолди и Зигфридом Адольфом Ваутхайзеном в 1949 году для понимания нерелятивистского предела уравнения Дирака, уравнения для частиц со спином 1/2. Подробное общее обсуждение преобразований типа Фолди — Ваутхайзена при интерпретации частиц, описываемых релятивистскими волновыми уравнениями, содержится в статье Р. Ачарье и Дж. Сударшана (1960). Его полезность в физике высоких энергий в настоящее время ограничена из-за того, что основные приложения находятся в ультрарелятивистской области, где поле Дирака рассматривается как квантованное поле.

Уравнение Дирака

Основная статья: Уравнение Дирака

Уравнение Дирака для свободной частицы со спином 1/2 записывают в виде (здесь и далее скорость света приравнена к 1)

$({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\,$

где $\alpha \,,\beta$ — эрмитовы матрицы Дирака размера 4 × 4, которые должны антикоммуритовать {α_i,α_j} = 2δ_ij, {α_i,β_j} = 0, а квадрат каждой из матриц должнен быть равен 1. В теории Дирака операторы трёх компомент оператора импульса ${\textbf {p}}$, гамильтониана $H$, опаратора спина ${\textbf {S}}$, полного углового момента ${\textbf {J}}$, чётности $P$ имеют хорошую физичекую интерпретацию, однако операторы орбитального момента и компоненты оператора спина не являются интегралами движения. Последние сохраняются по отдельности только в нерелятивистском пределе. Причина такого поведения относится к интерференции состояний с положительной и отрицательной энергиями. Другими величинами, которые имеют сложности интерпретации в одночастичном картине являются, координата, скорость. Для уравнения Дирака скорость частицы описывается операторами α_i и может принимать только два значения ±c. То есть отсутствует аналогия между операторами скорости и импульса, которые должны наблюдаться в нерелятивистском пределе согласно принципу соответствия. Фолди и Ваутхайзен предложили решение этого несоответствия путём выбора нового представления уравнения Дирака, в котором уравнение представляет собой две системы уравнений с положительной и отрицательной энергиями и которые дают уранение Паули в нерелятивствком пределе и частицу с отрицательной энергией.

Для покоящейся частицы p = 0, поэтому оператор β определяет знак энергии и гамильтониан диагонален. Для того чтобы оператор β отвечал за знак энергии для свободной движущейся частицы нужно использовать другое представление, которое исключало бы нечётные операторы α из гамильтониана. Такое представление было найдено Морисом Прайсом, С. Тани (англ. Smio Tani), Фолди и Ваутхайзеном, которые использовали каноническое преобразование для частицы со спином 1/2. Теперь оно известно как преобразование Фолди — Ваутхайзена. Краткий отчёт об истории представления можно найти в некрологах Фолди и Ваутхайзена и биографических мемуарах Фолди. До их работы существовала некоторая трудность в понимании и выборе всех членов, отвечающих за взаимодействия заданного порядка малости, например, для частицы Дирака во внешнем поле. Благодаря их методу физическая интерпретация операторов в гамильтониане стала ясной, и появилась возможность систематически применять их метод к ранее не поддающихся решению задач. Преобразование Фолди — Ваутхайзена было распространено на физически важные случаи частиц со спином 0 и спином 1, и обобщено на случай частиц с произвольным спином.

Описание

Преобразование Фолди — Ваутхайзена (ФВ) представляет собой унитарное преобразование фермионной волновой функции вида

$\psi \to \psi '=U\psi \,,$

(1)

где унитарный оператор — это 4 × 4 матрица

$U=e^{\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }=\mathbb {I} _{4}\cos \theta +\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta =e^{{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }=\mathbb {I} _{4}\cos \theta +{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta \,,$

(2)

где $\mathbb {I} _{4}$ — единичная матрица, ${\hat {p}}^{i}\equiv p^{i}/|\mathbf {p} |$ — единичный вектор, ориентированный в направлении импульса фермиона. Вышеупомянутое связано с матрицами Дирака соотношениями β = γ⁰ и αⁱ = γ⁰γⁱ, где i = 1, 2, 3. Простое разложение в ряд с применением свойств коммутативности матриц Дирака показывает, что верно утверждение (2) выше. Обратное преобразование равно

$U^{-1}=e^{-\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }=\mathbb {I} _{4}\cos \theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta \,,$

поэтому U⁻¹U = I, где I — 4 × 4 единичная матрица.

Преобразование гамильтониана Дирака для свободного фермиона

Это преобразование представляет особый интерес применительно к гамильтониану Дирака со свободными частицами

${\hat {H}}_{0}\equiv {\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m$

— биунитарно, в виде

${\begin{aligned}{\hat {H}}_{0}\to {\hat {H}}'_{0}&\equiv U{\hat {H}}_{0}U^{-1}\\&=U({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)U^{-1}\\&=(\cos \theta +\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta )({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)(\cos \theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta )\,.\end{aligned}}$

(3)

Используя свойства коммутативности матриц Дирака, это можно преобразовать в выражение удвоенного угла

${\begin{aligned}{\hat {H}}'_{0}&=({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)(\cos \theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin \theta )^{2}\\&=({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)e^{-2\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\theta }\\&=({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m)(\cos 2\theta -\beta {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\sin 2\theta )\,,\end{aligned}}$

(4)

которое после сокращений приводится к виду

${\hat {H}}'_{0}={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} \left(\cos 2\theta -{\frac {m}{|\mathbf {p} |}}\sin 2\theta \right)+\beta (m\cos 2\theta +|\mathbf {p} |\sin 2\theta )\,.$

(5)

Выбор конкретного представления: Ньютон — Вигнер

Преобразование ФВ является непрерывным, то есть можно использовать любое значение θ по своему выбору. Теперь возникает отдельный вопрос о выборе конкретного значения для θ, что равносильно выбору конкретного вида представления. Если выбрать

$\tan 2\theta \equiv {\frac {|\mathbf {p} |}{m}}\,,$

(6)

так что (5) сводится к диагонализованному (это предполагает, что β берётся в представлении Дирака — Паули (Поля Дирака, Вольфганга Паули), в котором это матрица диагональна)

${\hat {H}}'_{0}=\beta (m\cos 2\theta +|\mathbf {p} |\sin 2\theta )\,.$

(7)

После тригонометрических преобразований, (6) также подразумевает, что

$\sin 2\theta ={\frac {|\mathbf {p} |}{\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}}\quad {\text{и}}\quad \cos 2\theta ={\frac {m}{\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}}\,,$

(8)

так что использование (8) в (7) теперь приводит к следующему сокращению

${\hat {H}}'_{0}=\beta {\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}\,.$

(9)

До того, как Фолди и Ваутхайзен опубликовали своё преобразование, уже было известно, что (9) является гамильтонианом в представлении Ньютона — Вигнера (НВ) (названном в честь Теодора Дадделла Ньютона и Юджина Вигнера) уравнения Дирака. Таким образом, (9) говорит о том, что, применяя преобразование ФВ к представлению Дирака — Паули уравнения Дирака, а затем выбирая параметр непрерывного преобразования θ так, чтобы диагонализировать гамильтониан, то можно прийти к НВ-представлению уравнения Дирака, потому что НВ само уже содержит гамильтониан, указанный в (9).

Если рассматривать массу на оболочке — фермионную или иную — заданную выражением m² = p^σp_σ и использовать метрический тензор Минковского, для которого diag(η) = (+1, −1, −1, −1), то выражение

$p^{0}={\sqrt {m^{2}+|\mathbf {p} |^{2}}}$

эквивалентно компоненте E ≡ p⁰ 4-импульса p^μ, так что (9) альтернативно определяется как ${\hat {H}}_{0}^{'}=\beta E$.

Соответствие между представлениями Дирака — Паули и Ньютона — Вигнера для покоящегося фермиона

Пусть фермион покоится, что означает фермион, для которого $|{\textbf {p}}|=0$. Для (6) или (8) это означает, что cos 2θ = 1, так что θ = 0, ±π, ±2π, а для (2) — что унитарный оператор U = ±I. Следовательно, любой оператор O в представлении Дирака — Паули, над которым выполняется биунитарное преобразование, для покоящегося фермиона будет иметь вид

$O\to O'\equiv UOU^{-1}=(\pm I)(O)(\pm I)=O\,.$

(10)

В отличие от исходного гамильтониана Дирака — Паули

${\hat {H}}_{0}\equiv {\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta m$

с гамильтонианом НВ (9) находится $|{\textbf {p}}|=0$ «в покое» соответствует

${\hat {H}}_{0}={\hat {H}}'_{0}=\beta m\,.$

(11)

Преобразование оператора скорости

В представлении Дирака — Паули

Теперь рассмотрим оператор скорости. Для получения этого оператора необходимо прокоммутировать гамильтонов оператор ${\hat {H}}_{0}^{'}$ с каноническими операторами координаты x_i, то есть вычислить

${\hat {v_{i}}}\equiv i\left[{\hat {H}}_{0},x_{i}\right]\,.$

Хороший способ приблизиться к этому расчёту — начать с записи скалярной массы покоя m в виде

$m=\gamma ^{0}{\hat {H}}_{0}+\gamma ^{j}p_{j}\,,$

а затем обязать скалярную массу покоя коммутировать с x_i. Таким образом

$0=[m,x_{i}]=\left[\left(\gamma ^{0}{\hat {H}}_{0}+\gamma ^{j}p_{j}\right),x_{i}\right]=\left[\gamma ^{0}{\hat {H}}_{0},x_{i}\right]+i\gamma _{i}\,,$

(12)

где использовалось каноническое коммутационное соотношение Гейзенберга [x_i,p_j] = −iη_ij для сокращения членов. Тогда, умножая слева на γ⁰ и переставляя слагаемые, приходится к

${\frac {d{\hat {x}}_{i}}{dt}}={\hat {v_{i}}}\equiv i\left[{\hat {H}}_{0},x_{i}\right]=\alpha _{i}\,.$

(13)

Поскольку канонические соотношения

$i\left[{\hat {H}}_{0},{\hat {v}}_{i}\right]\neq 0\,,$

то вышеизложенное обеспечивает основу для вычисления собственного ненулевого оператора ускорения, который определяет колебательное движение, известное как «дродащщее движение».

В представлении Ньютона — Вигнера

Теперь в представлении Ньютона — Вигнера мы хотим вычислить

${\hat {v}}_{i}'\equiv i\left[{\hat {H}}'_{0},x_{i}\right]\,.$

Если использовать результат в самом конце раздела 2 выше, ${\hat {H}}_{0}^{'}=\beta p$, то вместо этого это можно записать как

${\hat {v}}_{i}'\equiv i\left[{\hat {H}}'_{0},x_{i}\right]=i\beta \left[p_{0},x_{i}\right]\,.$

(14)

Используя вышеизложенное, нужно вычислить [p₀,x_i], а затем умножить на iβ.

Канонический расчёт происходит аналогично расчету в разделе 4 выше, но из-за выражения квадратного корня в $p^{0}={\sqrt {m^{2}+|p|^{2}}}$, требуется ещё один шаг.

Во-первых, чтобы учесть квадратный корень, нужно потребовать, чтобы скалярная квадратная масса m² коммутировала с каноническими координатами x_i, которые запишутся в виде

$0\equiv \left[m^{2},x_{i}\right]=\left[\left(p^{0}p_{0}+p^{j}p_{j}\right),x_{i}\right]=\left[p^{0}p_{0},x_{i}\right]+2ip_{i}\,,$

(15)

где используются каноническое соотношение Гейзенберга [x_i,p_j] = −iη_ij. Затем нужно выражение для [p₀,x_i], которое будет удовлетворять условию (15), а именно

$i\left[p_{0},x_{i}\right]={\frac {p_{i}}{p^{0}}}=v_{i}\,,$

(16)

что будет удовлетворять (15) при повторном использовании [x_i,p_j] = −iη_ij . Вернув коэффициент iβ из 14, получится

${\frac {d{\hat {x}}_{i}'}{dt}}={\hat {v}}_{i}'\equiv i\left[{\hat {H}}'_{0},x_{i}\right]=\beta {\frac {p_{i}}{p^{0}}}=\beta v_{i}\,.$

Под этим понимается оператор скорости в представлении Ньютона — Вигнера. Потому что

$i\left[{\hat {H}}'_{0},{\hat {v}}_{i}'\right]=i\left[\beta p_{0},\beta v_{i}\right]=0$

(18)

обычно думают, что дрожащее движение, возникающее из 12 исчезает, когда фермион преобразуется в представление Ньютона — Вигнера.

Операторы динамических переменных в старом и новом представлениях

Динамическая переменная	Операторы в старом представлении	Операторы в новом представлении
Положение	$\mathbf {x}$	$\mathbf {x} '=\mathbf {x} -{\frac {i\beta {\boldsymbol {\alpha }}}{2E_{p}}}+{\frac {i\beta ({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} )\mathbf {p} -[{\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {p} ]p}{2E_{p}(E_{p}+m)p}}$
Импульс	$\mathbf {p} \equiv (\hbar /i)\nabla$	$\mathbf {p} '=\mathbf {p}$
Гамильтониан	$H=\beta m+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p}$	$H'=\beta (m^{2}+p^{2})^{1/2}\equiv \beta E_{p}$
Скорость	${\boldsymbol {\alpha }}={\dot {\mathbf {x} }}$	${\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {\beta \mathbf {p} }{E_{p}}}-{\frac {({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} )\mathbf {p} }{E_{p}(E_{p}+m)}}$
	$\beta$	$\beta '={\frac {m\beta -{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} }{E_{p}}}$
Орбитальный угловой момент	$[\mathbf {x} \times \mathbf {p} ]$	$[\mathbf {x} '\times \mathbf {p} ]$
Спиновый угловой момент	${\boldsymbol {\sigma }}\equiv {\frac {1}{2i}}[{\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\alpha }}]$	${\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\sigma }}+{\frac {i\beta [{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {p} ]}{E_{p}}}-{\frac {\mathbf {p} \times [{\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {p} ]}{E_{p}(E_{p}+m)}}$
Среднее положение	$\mathbf {X} =\mathbf {x} +{\frac {i\beta {\boldsymbol {\alpha }}}{2E_{p}}}-{\frac {i\beta ({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} )\mathbf {p} +[{\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {p} ]p}{2E_{p}(E_{p}+m)p}}$	$\mathbf {X} '=\mathbf {x}$
Средняя скорость	${\dot {\mathbf {X} }}={\frac {\mathbf {p} }{E_{p}}}\cdot \left\{{\frac {\beta m+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} }{E_{p}}}\right\}$	${\dot {\mathbf {X} }}'={\frac {\beta \mathbf {p} }{E_{p}}}$
Средний орбитальный угловой момент	$[\mathbf {X} \times \mathbf {p} ]$	$[\mathbf {X} '\times \mathbf {p} ]=[\mathbf {x} \times \mathbf {p} ]$
Средний спиновый угловой момент	${\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {i\beta [{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {p} ]}{E_{p}}}-{\frac {[\mathbf {p} \times [{\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {p} ]]}{E_{p}(E_{p}+m)}}$	${\boldsymbol {\Sigma }}'={\boldsymbol {\sigma }}$
Знаковый оператор	$\Lambda _{p}\equiv {\frac {\beta m+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} }{E_{p}}}$	$\Lambda _{p}'=\beta$

Другие приложения

Преобразование Фолди — Ваутхайзена, первоначально разработанное для уравнения Дирака, нашло применение во многих ситуациях, таких как акустика и оптика. Оно нашло применение в самых разных областях, таких как атомные системы синхротронное излучение и вывод уравнения Блоха для поляризованных пучков. Применение преобразования Фолди — Ваутхайзена в акустике весьма естественно; учитывает полноту и математическую строгость.

В традиционной схеме цель разложения оптического гамильтониана

${\hat {H}}=-\left(n^{2}(r)-{\hat {p}}_{\perp }^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

в ряд с использованием ${\hat {p}}_{\perp }^{2}/n_{0}^{2}$ в качестве параметра разложения следует понимать распространение квазипараксиального луча с точки зрения ряда приближений (параксиальных и непараксиальных). Аналогично обстоит дело и в оптике заряженных частиц. В релятивистской квантовой механике возникает аналогичная проблема понимания релятивистских волновых уравнений как нерелятивистского приближения плюс релятивистские поправочные члены в квазирелятивистском режиме. Для уравнения Дирака (первого порядка по времени) это удобнее всего делать с помощью преобразования Фолди — Ваутхайзена, приводящего к итерационному методу диагонализации. Основной метод недавно разработанных формализмов оптики (как световой оптики, так и оптики заряженных частиц) основан на методе преобразования теории Фолди — Ваутхайзена, который приводит уравнение Дирака к форме, отображающей различные члены взаимодействия между частицей Дирака и частицей Дирака. прикладное электромагнитное поле в нерелятивистской и легко интерпретируемой форме.

В теории Фолди — Ваутхайзена уравнение Дирака посредством канонического преобразования разделяется на два двухкомпонентных уравнения: одно сводится к уравнению Паули в нерелятивистском пределе, а другое описывает состояния с отрицательной энергией. Можно написать матричное представление уравнений Максвелла в стиле Дирака. В такой матричной форме можно применить метод Фолди — Ваутхайзена.

Существует тесная алгебраическая аналогия между уравнением Гельмгольца (определяющим скалярную оптику) и уравнением Клейна — Гордона; и между матричной формой уравнений Максвелла (определяющих векторную оптику) и уравнением Дирака. Поэтому вполне естественно использовать мощный аппарат стандартной квантовой механики (в частности, преобразование Фолди — Ваутхайзена) при анализе этих систем.

Эта идея была использована для анализа квазипараксиальных приближений для конкретной лучевой оптической системы. Метод Фолди — Ваутхайзена идеально подходит для алгебраического подхода Ли в оптике. Несмотря на все эти плюсы, а также мощное и недвусмысленное расширение, преобразование Фолди — Ваутхайзена до сих пор мало используется в оптике. Метод преобразования Фолди — Ваутхайзена приводит к так называемым нетрадиционным методам в оптике Гельмгольца и оптики Максвелла. Нетрадиционные подходы приводят к очень интересным зависящим от длины волны модификациям параксиального и аберрационного поведения. Нетрадиционный формализм оптики Максвелла обеспечивает единую основу оптики светового пучка и поляризации. Нетрадиционные методы геометрической оптики во многом аналогичны квантовой теории оптики пучков заряженных частиц. В оптике это позволило увидеть более глубокие связи в зависимости от длины волны между оптикой света и оптикой заряженных частиц.

Литература

• Барабанов А. Л. Симметрии и спин-угловые корреляции в реакциях и распадах. — М.: Физматлит, 2010. — 514 с. — ISBN 978-5-9221-1226-0.
• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Релятивистская квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 296 с.
• Ициксон К., Зюбер Ж.-Б.. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 448 с.
• Тернов А. И. Основы релятивистской квантовой механики. — 2-е. — М.: МФТИ, 2002. — 164 с. — ISBN 5-7417-0187-6.
• Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. — М.: Иностранная литература, 1963. — 844 с. — ISBN 978-5-0000-0000-0.