Преобразование Хартли

Преобразование Хартли (Hartley transform) — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, но в отличие от последнего трансформирует одни вещественные функции в другие вещественные же функции. Преобразование было предложено в качестве альтернативы преобразованию Фурье Р. Хартли в 1942 году. Преобразование Хартли является одним из многих известных типов преобразований Фурье. Преобразование Хартли может быть и обратным.

Дискретный вариант преобразования Хартли был представлен Рональдом Брейсуэллом^[англ.] в 1983 году.

Определение

Прямое преобразование

Преобразование Хартли $H(\omega )$ рассчитывается по формуле

H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t,

где

{\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+{\frac {\pi }{4}})={\sqrt {2}}\cos(t-{\frac {\pi }{4}})

— ядро Хартли.

Обратное преобразование

Обратное преобразование получается по принципу инволюции:

f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}

Уточнения

Вместо того, чтобы использовать одинаковые формулы для прямого и обратного преобразования, можно ввести коэффициент ${\frac {1}{2\pi }}$ для обратного и вынести тот же коэффициент из прямого преобразования Хартли. Этот способ называется асимметричной нормализацией;
Можно использовать коэффициент $2\pi \nu t$ вместо $\omega t$ , полностью опустив коэффициент ${\frac {1}{2\pi }}$ ;
Можно использовать вычитание косинуса и синуса вместо их суммы.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Хартли отличается от преобразования Фурье выбором ядра.

В преобразовании Фурье используется экспоненциальное ядро

\exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t),

где

i

— мнимая единица.

Эти два преобразования тесно связаны, и если они имеют одинаковую нормализацию, то

F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}

Для вещественных функций $f(t)$ преобразование Хартли превращается в комплексное преобразование Фурье:

\{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\},

где

\Re

и

\Im

— действительная и мнимая часть функции соответственно.

Свойства

Преобразование Хартли — вещественный симметричный унитарный линейный оператор

Существует так же аналог теоремы свёртки: если две функции $x(t)$ и $y(t)$ имеют преобразования Хартли $X(t)$ и $Y(t)$ соответственно, то их свёртка $z(t)=x*y$ будет иметь преобразование

Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\right]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\right]\right)/2

Как и преобразование Фурье, преобразование Хартли будет являться чётной или нечётной функцией в зависимости от характера преобразуемой функции.

Cas

Свойства ядра Хартли вытекают из свойств тригонометрических функций. Так как

{\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),

то

2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(-b)

и

{\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)

Производная ядра равна

{\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos(a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)

Литература

РОНАЛЬД Н. БРЕЙСУЭЛЛ Преобразование Фурье [1] Архивная копия от 24 мая 2017 на Wayback Machine
Hartley, R. V. L., A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems Архивная копия от 2 июня 2008 на Wayback Machine, Proc. IRE 30, 144—150 (1942).
Bracewell, R. N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986) (also translated into Japanese and Polish)
Bracewell, R. N., The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (also translated into German and Russian)
Bracewell, R. N., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 381—387 (1994).
Millane, R. P., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 413—428 (1994).
Villasenor, John D., Шаблон:Doi-inline, Proc. IEEE 82 (3), 391—399 (1994).