Разбиение Хегора

Разбиение Хегора — разбиение компактного ориентированного трёхмерного многообразия на два тела с ручками.

Названо в честь Поула Хегора[en], который положил начало изучению таких разбиений в 1898 году[1].

КонструкцияПравить

Для любого компактного трёхмерного многообразия   существует поверхность  , разрезающая   на два тела с ручками, то есть на многообразия, гомеоморфные замкнутой области евклидова пространства, ограниченной поверхностью.

Род поверхности   называется родом разбиения. Разбиение   называется минимальным, если   не допускает разбиения меньшего рода. Минимальное значение рода поверхности называется родом Хегора многообразия  .

ПримерыПравить

  • Трёхмерная сфера   допускает разбиение Хегора рода ноль. Иначе говоря, 2-мерная сфера разрезает   на два шара.
    • Более того, все многообразия, допускающие разбиение Хегора рода ноль, гомеоморфны  .
  • Вложенный тор разбивает сферу на два полнотория, это даёт другое разбиение Хегора   рода 1. (См. также расслоение Хопфа.)
  • Линзовые пространства допускают разбиение Хегора рода один. Иначе говоря, любое линзовое пространство можно разрезать тором на два полнотория.

СвойстваПравить

  • Лемма Александера: с точностью до изотопии, существует единственное (кусочно-линейное) вложение двумерной сферы в трёхмерную сферу.
    • Эту теорему можно переформулировать следующим образом: трёхмерная сфера    допускает единственное разбиение Хегора рода ноль.
  • Теорема Вальдхаузена[2]: каждое разбиение   получается из разбиения рода ноль путём операции связной суммы с разбиением сферы рода 1.
  • Теорема Райдемейстера — Зингера: для любой пары разбиений   и   многообразия   существует третье разбиение  , которое является стабилизацией обоих. То есть   можно получить из   и   путём взятия связной суммы с разбиением   рода 1.

ЛитератураПравить

  • Математическая энциклопедия. М.: 197* — 1985, том 5, стр.780. (Разбиение Хегора.)
  • Фоменко, А.Т. Геометрия и топология. Наглядная геометрия и топология. М. 1992. (Глава 2. Многообразия малой размерности.)

ПримечанияПравить

  1. Heegaard, Poul (1898), Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang, Thesis, <http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/heegaardthesis.pdf> 
  2. Saul Schleimer. Waldhausen's Theorem // Geometry & Topology Monographs. — 2007. — Vol. 12. — P. 299–317. — doi:10.2140/gtm.2007.12.299.