Открыть главное меню

Распределение Дирихле

В теории вероятностей и математической статистике распределение Дирихле (по имени Иоганна Петера Густава Лежён-Дирихлe), часто обозначаемое Dir(α) — это семейство непрерывных многомерных вероятностных распределений параметризованных вектором α неотрицательных вещественных чисел. Распределение Дирихле является обобщением Бета-распределения на многомерный случай. То есть, его функция плотности вероятности возвращает доверительную вероятность того, что вероятность каждого из K взаимоисключающих событий равна при условии, что каждое событие наблюдалось раз.

Функция плотности вероятностиПравить

Функция плотности вероятности для распределения Дирихле порядка K есть:

 

где  ,  ,  , а   — многомерная бета-функция, где  

СвойстваПравить

Пусть   и   тогда

 
 
 

Модой распределения является вектор x (x1, …,xK) с

 

Распределение Дирихле является сопряжённым априорным распределением к мультиномиальному распределению, а именно: если

 

где βi — число вхождений i в выборку из n точек дискретного распределения на {1, …, K} определенного через X, то

 

Эта связь используется в Байесовской статистике для того, чтобы оценить скрытые параметры, X, дискретного вероятностного распределения, имея набор из n выборок. Очевидно, если априорное распределение обозначено как Dir(α), то Dir(α + β) есть апостериорное распределение после серии наблюдений с гистограммой β.

Связи с другими распределениямиПравить

Если для  

  независимо, то
 

и

 

Несмотря на то, что Xi не являются независимыми друг от друга, они могут быть сгенерированы из набора из   независимых гамма случайных величин. К несчастью, так как сумма   теряется в процессе формирования X = (X1, …, XK), становится невозможно восстановить начальные значения гамма случайных величин только по этим значениям. Тем не менее, благодаря тому, что работать с независимыми случайными величинами проще, это преобразование параметров может быть полезно при доказательстве свойств распределения Дирихле.

Генерация случайных чиселПравить

Метод построения случайного вектора   для распределения Дирихле размерности K с параметрами   следует непосредственно из этой связи. Сначала получим K независимых случайных выборок   из гамма-распределений, каждое из которых имеет плотность

 

а затем положим

 

Наглядная трактовка параметровПравить

В качестве примера использования распределения Дирихле можно предложить задачу, в которой требуется разрезать нитки (каждая начальной длины 1,0) на K частей с разными длинами так, чтобы все части имели заданную среднюю длину, но с возможностью некоторой вариации относительных длин частей. Значения α / α0 определяют средние длины частей нитки, получившиеся из распределения. Дисперсия вокруг среднего значения обратно пропорциональна α0.

См. такжеПравить