Распределение арксинуса

Распределение арксинуса (англ. arcsine distribution) — распределение вероятностей, функция распределения которого имеет вид

Арксинус
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	none
Носитель	$x\in [0,1]$
Плотность вероятности	$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$
Функция распределения	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)$
Математическое ожидание	${\frac {1}{2}}$
Медиана	${\frac {1}{2}}$
Мода	$x\in \{0,1\}$
Дисперсия	${\tfrac {1}{8}}$
Коэффициент асимметрии	$0$
Коэффициент эксцесса	$-{\tfrac {3}{2}}$
Дифференциальная энтропия	$\ln {\tfrac {\pi }{4}}$
Производящая функция моментов	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {2r+1}{2r+2}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
Характеристическая функция	${}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2}};1;i\,t)\$

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}$

при 0 ⩽ x ⩽ 1, а плотность вероятности равна

$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$

на (0, 1). Стандартное распределение арксинуса является частным случаем бета-распределения при α = β = 1/2. Таким образом, если $X$ представляет собой стандартное распределение арксинуса, то $X\sim \operatorname {Beta} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$.

Обобщение

Носитель с произвольными границами
Параметры	$-\infty <a<b<\infty$
Носитель	$x\in [a,b]$
Плотность вероятности	$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}$
Функция распределения	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)$
Математическое ожидание	${\frac {a+b}{2}}$
Медиана	${\frac {a+b}{2}}$
Мода	$x\in {a,b}$
Дисперсия	${\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}$
Коэффициент асимметрии	$0$
Коэффициент эксцесса	$-{\tfrac {3}{2}}$

Распределение арксинуса можно обобщить на случай произвольного ограниченного носителя a ⩽ x ⩽ b с помощью простого преобразования

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)$

при a ⩽ x ⩽ b. Плотность вероятности задаётся функцией

$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}$

на (a, b).

Обобщённое стандартное распределение арксинуса на (0, 1) с плотностью распределения

$f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}$

представляет собой частный случай бета-распределения с параметрами $\operatorname {Beta} (1-\alpha ,\alpha )$.

Заметим, что при $\alpha =1/2$ обобщённое распределение арксинуса приводится к указанному выше виду.

Свойства

• Распределение арксинуса замкнуто относительно сдвига и масштабирования на положительный множитель:

  если $X\sim \operatorname {Arcsine} (a,b)$, то $kX+c\sim \operatorname {Arcsine} (ak+c,bk+c).$

• Квадрат распределения арксинуса на (−1, 1) обладает распределением арксинуса на (0, 1):

  если $X\sim \operatorname {Arcsine} (-1,1)$, то $X^{2}\sim \operatorname {Arcsine} (0,1).$

Связанные распределения

• Если U и V независимые и одинаково равномерно распределённые случайные величины на (−π, π), то $\sin(U)$, $\sin(2U)$, $-\cos(2U)$, $\sin(U+V)$ и $\sin(U-V)$ обладают распределением $\operatorname {Arcsine} (-1,1)$.
• Если $X$ — обобщённое распределение арксинуса с параметром $\alpha$ на носителе [a, b], тогда ${\frac {X-a}{b-a}}\sim \operatorname {Beta} (1-\alpha ,\alpha ).$

Примечания

• Rogozin, B.A. (2001) [1994], "A/a013160", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4