Разложение на ручки

(перенаправлено с «Ручка (топология)»)
Трёхмерный шар с тремя присоединёнными ручками.

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

где каждое получается из путём присоединения -ручек. Разложение на ручки для многообразия соответствует CW-разбиению в топологическом пространстве — разложение на ручки позволяет нам использовать методы исследования CW-комплексов, адаптированные к миру гладких многообразий. Таким образом, i-ручка является гладким аналогом i-ячейки. Разложения многообразий на ручки возникают из теории Морса. Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа.

ПредпосылкиПравить

Рассмотрим стандартное CW-разбиение n-сферы с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру   с помощью этого разбиения, в частности, гладкая структура вблизи 0-ячейки зависит от поведения характеристического отображения   в окрестности  .

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности. Если задана точка p на многообразии M, её замкнутая трубчатая окрестность   диффеоморфна  . Таким образом, мы получаем разбиение M на несвязное объединение   и  , склеенное по их общей границе. Главный вопрос здесь, является ли это склеивающее отображение диффеоморфизмом. Возьмём гладкую кривую вложенную в  , её трубчатая окрестность диффеоморфна  . Это позволяет записать   как объединение трёх многообразий, склеенных вдоль частей их границ:

  1.  
  2.  
  3. дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в  .

Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем   с  , отношение эквивалентности образуется путём вложения   в  , которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности.

Разложения на ручки ввёл Стивен Смейл[1]. В оригинальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает, что осуществляется вложение   в  . Пусть  . Многообразие   (другими словами, объединение M с j-ручкой вдоль f ) соответствует несвязному объединению   и   с отождествлением   с его образом в  , то есть:

 

где отношение эквивалентности   задаётся как   для всех  .

Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Тогда разложение на ручки многообразия   определяется как постепенное присоединение к пустому множеству ручек, так чтобы в конечном счёте получилось   . Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0-ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j-ручки для некоторого фиксированного j) называется телом с ручками.

ТерминологияПравить

Возьмём объединение M с j-ручкой  :

 

  называется приклеивающей сферой (или подошвенной сферой)[2].

  иногда называется оснащением приклеивающей сферы, поскольку оно даёт тривиализацию его нормального расслоения.

  является опоясывающей сферой ручки   в  .

Многообразие, полученное присоединением   копий  -ручек к диску  , является (m, k)-телом с ручками рода g .

Представления кобордизмовПравить

Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где   и фильтрации

 

где   и   являются  -мерными многообразиями,   -мерным,   диффеоморфно  , а   получается из   путём присоединения i-ручек. Поскольку разложения на ручки являются для многообразий аналогом разложений на ячейки топологических пространств, представления кобордизмов ручками для многообразий с границами являются аналогом относительных разложений ячеек пар пространств.

С точки зрения теории МорсаПравить

Если задана функция Морса   на компактном многообразии M без края, таком что критические точки   функции   удовлетворяют   и выполняется

 ,

тогда для всех j   диффеоморфно  , где   — индекс критической точки  . Индекс   соответствует размерности максимального подпространства касательного пространства  , где гессиан отрицательно определён.

Если индексы удовлетворяют неравенству  , то получается разложение на ручки многообразия M. Более того, любое многообразие имеет такую функцию Морса, так что они имеют разложения на ручки. Похожим образом, если задан кобордизм   с   и функция  , которая является функцией Морса на внутренности, постоянна на границе и удовлетворяет свойству увеличения индекса, существует порождённое представление ручек кобордизма W.

Если   — функция Морса  ,   также является функцией Морса. Соответствующее разложение на ручки/представление кобордизма называется двойственным разложением.

Некоторые главные теоремы и наблюденияПравить

  • Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3-многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0- и 1-ручек является (3,1)-телом с ручками и объединение 3- и 2-ручек также даёт (3,1)-тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность 1-остова  , а другое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1-остова.
  • Если присоединить две ручки в последовательности  , можно изменить порядок присоединения, обеспечивая  , то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида   для подходящих отображений присоединения.
  • Граница   диффеоморфна  , разрезанному вдоль оснащённой сферы  . Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса.
  • Как следствие, m-многообразие M является границей m+1-многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из   хирургией на наборе оснащённых зацеплений в  . Например, известно, что любое 3-многообразие является границой 4-многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3-многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4-многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах. Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3-сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей.
  • Теорема о h-кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Smale, 1962, с. 387–399.
  2. Скорпан, 2016, с. 46.

ЛитератураПравить

  • Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. — 1962. — Т. 84.
    • Статья перепечатана в книге:S. Smale. On the structure of manifolds // Topological library. Part 1: Cobordisms and their applications / Editor-in-charge: Louis H. Kauffman; Editors: S. P. Novikov, I. A. Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. — Т. 39. — (SERIES ON KNOTS AND EVERYTHING). — ISBN 978-981-270-559-4.
  • Скорпан А. Удивительный мир четырёхмерных многообразий. — М.: МЦНМО, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7.

Основная литератураПравить

  • Kosinksi A. Differential Manifolds. — Academic Press, 1992. — Т. 138. — (Pure and Applied Mathematics).
  • Robert Gompf, Andras Stipsicz. 4-Manifolds and Kirby Calculus. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-0994-6.