Связанное состояние

Связанное состояние — это сочетание двух или более фундаментальных строительных блоков, таких как частицы, атомы или тела, которые ведут себя как единый объект и для его разделения требуется энергия.

В квантовой физике связанное состояние — это квантовое состояние частицы, подверженное такому потенциалу, что частица имеет тенденцию оставаться локализованной в одной или нескольких областях пространства. Потенциал может быть внешним или быть результатом присутствия другой частицы; в последнем случае можно эквивалентно определить связанное состояние как состояние, представляющее две или более частицы, энергия взаимодействия которых превышает полную энергию каждой отдельной частицы в отдельности. Одним из последствий является то, что, учитывая потенциал, исчезающий на бесконечности, состояния с отрицательной энергией должны быть связаны. Энергетический спектр набора связанных состояний чаще всего дискретен, в отличие от состояний рассеяния свободных частиц, которые имеют непрерывный спектр.

Метастабильные состояния с чистой положительной энергией взаимодействия, но большим временем затухания, хотя и не являются связанными состояниями в строгом смысле этого слова, часто также считаются нестабильными связанными состояниями и называются «квазисвязанными состояниями». Примеры включают радионуклиды и атомы Ридберга.

В релятивистской квантовой теории поля устойчивое связанное состояние n частиц с массами $\{m_{k}\}_{k=1}^{n}$ соответствует полюсу в S-матрице с энергией центра масс менее $\textstyle \sum _{k}m_{k}$. Нестабильное связанное состояние проявляется в виде полюса со комплекснозначной энергией центра масс.

Примеры

Обзор различных семейств элементарных и составных частиц и теорий, описывающих их взаимодействия.

• Протон и электрон могут двигаться отдельно; когда они это делают, то общая энергия центра масс положительна, и такую пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает «вращаться» вокруг протона, энергия становится отрицательной и возникает связанное состояние — атом водорода. Стабильным является только связанное состояние, которое обладает наименьшей энергией, называемое основным состоянием. Другие возбуждённые состояния нестабильны и распадаются на стабильные (но не на другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией, например, путём испускания фотона.
• Позитроний — это нестабильное связанное состояние электрона и позитрона. Он распадается на фотоны.
• Любое состояние квантового гармонического осциллятора является связанным, но имеет положительную энергию. Обратите внимание, что $\lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty$, поэтому приведённое ниже неприменимо.
• Ядро — это связанное состояние протонов и нейтронов (нуклонов).
• Сам протон представляет собой связанное состояние трёх кварков (два верхних и один нижний; один красный, один зелёный и один синий). Однако, в отличие от атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть разделены.
• Модели Хаббарда и Джейнса — Каммингса — Хаббарда (JCH) оптсывают аналогичные связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающихся бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решётке. Гамильтониан JCH также имеет решение в виде двухполяритонных связанные состояний при достаточно сильном взаимодействии фотона с атомом.

Определение

Пусть σ -конечное пространство с мерой $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ есть вероятностное пространство, связанное с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством $H$. Определимоднопараметрическую группу унитарных операторов $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$, оператор плотности $\rho =\rho (t_{0})$ и наблюдаемую $T$ на $H$. Пусть $\mu (T,\rho )$ индуцирована распределением вероятностей $T$ относительно $\rho$. Тогда эволюция

$\rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)$

связан (ограничена) по отношению к $T$ если

$\lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0$ ,

где $\mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace$.

Квантовая частица находится в связанном состоянии, если ни в какой момент времени она не оказывается «слишком далеко» от любой конечной области $R\subset X$. Например, используя представление волновой функции, это означает

${\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{particle measured inside }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}$

такой, что

$\int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .$

В общем, квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормируемо во все времена $t\in \mathbb {R}$. Кроме того, связанное состояние лежит в пределах чисто точечной части спектра $T$ тогда и только тогда, когда оно является собственным состоянием $T$.

Говоря более неформально, «ограниченность» является результатом выбора области определения и характеристик состояния, а не наблюдаемой велечины. Для конкретного примера: пусть $H:=L^{2}(\mathbb {R} )$ и разрешим $T$ быть оператором координаты. Учитывая компактную $\rho =\rho (0)\in H$ и $[-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )$.

• Если эволюция состояния $\rho$ «перемещает этот волновой пакет вправо», например, если $[t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))$ для всех $t\geq 0$, затем $\rho$ не является связанным состоянием по отношению к координате.
• Если $\rho$ не меняется во времени, то есть $\rho (t)=\rho$ для всех $t\geq 0$, тогда $\rho$ привязано по отношению к положению.
• В более общем случае: если эволюция состояния $\rho$ «просто движется $\rho$ внутри ограниченной области», то $\rho$ привязано по отношению к координате.

Характеристики

Поскольку конечно нормируемые состояния должны лежать в пределах чисто точечной части (дискретного) спектра, связанные состояния должны лежать в чисто точечной части. Однако, как указали Нейман и Вигнер, энергия связанного состояния может находиться в непрерывной части спектра. Это явление называется связанным состоянием в континууме.

Состояния, связанные с координатой

Рассмотрим одночастичное уравнение Шрёдингера. Если состояние обладает энергией ${\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}$, то волновая функция ψ удовлетворяет для некоторого $X>0$

${\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ for }}x>X$

так что ψ экспоненциально затухает при больших x. Такое поведение хорошо изучено для плавно меняющихся потенциалов в приближении ВКБ для волновой функции, где наблюдается колебательное поведение, если правая часть уравнения отрицательна, и поведение роста/затухания, если оно положительно. Следовательно, состояния с отрицательной энергией связаны, если V обращается в нуль на бесконечности.

Невырожденность в одномерных связанных состояниях

Ниже показано, что одномерные связанные состояния невырождены по энергии для волновых функций с хорошим поведением, которые затухают до нуля на бесконечности. Это не обязательно справедливо для волновой функции в более высоких измерениях. Благодаря свойству невырожденных состояний одномерные связанные состояния всегда можно выразить как действительные волновые функции.

Доказательство

Рассмотрим два собственных состояний ${\textstyle \Psi _{1}}$ и ${\textstyle \Psi _{2}}$ с одинаковым собственным значением энергии. Тогда, поскольку уравнение Шредингера выражается как: $$E=-{\frac {1}{\Psi _{i}(x,t)}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\ partial^{2}\Psi _{i}(x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x,t)$$ удовлетворяется для i = 1 и 2, вычитание двух уравнений даёт: $${\frac {1}{\Psi _{1}(x,t)}}{\frac {\partial ^{2}\Psi _{1}(x,t)}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{\Psi _{2}(x,t)}}\ frac{\partial ^{2}\Psi _{2}(x,t)}{\partial x^{2}}=0$$ которое можно переставить, чтобы получить условие $${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}\Psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}\Psi _{1}\right)=0$$ Поскольку ${\textstyle {\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}(x)\Psi _{2}(x)-{\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}(x)\Psi _{1}(x)=C}$, принимая предел x, стремящийся к бесконечности с обеих сторон, волновые функции исчезают и дают ${\textstyle C=0}$. Решение задачи ${\textstyle {\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}(x)\Psi _{2}(x)={\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}(x)\Psi _{1}(x)}$, мы получаем: ${\textstyle \Psi _{1}(x)=k\Psi _{2}(x)}$, что доказывает, что собственная функция энергии одномерного связанного состояния уникальна. Более того, можно показать, что эти волновые функции всегда могут быть представлены вполне реальной волновой функцией. Определить реальные функции ${\textstyle \rho _{1}(x)}$ и ${\textstyle \rho _{2}(x)}$ такой, что ${\textstyle \Psi (x)=\rho _{1}(x)+i\rho _{2}(x)}$. Затем из уравнения Шрёдингера: $$\Psi ''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\Psi$$ мы получаем это, поскольку члены в уравнении все действительные значения $$\rho _{i}''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\rho _{i}$$ применяется для i = 1 и 2. Таким образом, каждое одномерное связанное состояние может быть представлено вполне вещественными собственными функциями. Обратите внимание, что вещественное представление волновых функций из этого доказательства применимо для всех невырожденных состояний в целом.

Теорема об узлах

Теорема об узлах утверждает, что n-я связанная волновая функция, упорядоченная по возрастанию энергии, имеет ровно n-1 узлов, то есть точки $x=a$ где $\psi (a)=0\neq \psi '(a)$ . Из-за формы независимых от времени уравнений Шрёдингера физическая волновая функция не может иметь $\psi (a)=0=\psi '(a)$ поскольку это соответствует решению $\psi (x)=0$.

Требования

Бозон с массой m_χ, передающий слабосвязанное взаимодействие, создаёт потенциал взаимодействия типа Юкавы:

$V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}$ ,

где $\alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi$, g — калибровочная константа связи, ƛ_i = ℏ/m_ic

— приведённая комптоновская длина волны. Скалярный бозон создает универсальный потенциал притяжения, тогда как векторый притягивает частицы к античастицам, но отталкивает, как подобные пары. Для двух частиц массой m₁ и m₂ боровский радиус системы равен

$a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}$

и даёт безразмерное число

$D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}$ .

Для того чтобы первое связанное состояние вообще существовало, $D\gtrsim 0.8$. Поскольку фотон безмассовый, то для электромагнетизма D бесконечно. Для слабого взаимодействия масса Z-бозона равна 91,1876 ± 0,0021 GeV/c2, что предотвращает образование связанных состояний между большинством частиц, так как оно составляет 97,2 times массы протона и 178,000 times массы электрона.

Если бы хиггсовское взаимодействие не нарушило электрослабую симметрию на электрослабом масштабе, то SU(2) слабое взаимодействие обладало бы свойством конфайнмента.

Литература

• Blanchard, Philippe. Some Applications of the Spectral Representation // Mathematical Methods in Physics: Distributions, Hilbert Space Operators, Variational Methods, and Applications in Quantum Physics : [] / Philippe Blanchard, Edward Brüning. — 2nd. — Switzerland : Springer International Publishing, 2015. — P. 431. — ISBN 978-3-319-14044-5.
• Gustafson, Stephen J. Spectrum and Dynamics // Mathematical Concepts of Quantum Mechanics : [] / Stephen J. Gustafson, Israel Michael Sigal. — 2nd. — Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2011. — P. 50. — ISBN 978-3-642-21865-1.
• Ruelle, David (9 January 2016). "A Remark on Bound States in Potential-Scattering Theory" (PDF). Nuovo Cimento A. 61 (June 1969): 655—662. doi:10.1007/BF02819607. S2CID 56050354. Дата обращения: 27 декабря 2021.