Теорема Нэша — Кёйпера

Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение (или погружение) $n$-мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{q}$ при $q>n$ можно аппроксимировать $C^{1}$-гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением).

Формулировка

Термин «изометрическое вложение/погружение» здесь означает соответственно вложение/погружение, которое сохраняет длины кривых.

Более точно:

Пусть $(M,g)$ есть Риманово многообразие и $f\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}$ есть короткое $C^{\infty }$-гладкое вложение (или погружение) в Евклидово пространство ${\mathbb {R} }^{q}$ и $q>n$. Тогда для любого $\varepsilon >0$ существует вложение (или соответственно погружение) $f_{\varepsilon }\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q}$ такое, что $f_{\varepsilon }$ является $C^{1}$-гладким, (изометричность) для любых двух касательных векторов $v,w\in T_{x}(M)$ в касательном пространстве точки $x\in M$ мы имеем: $g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .$ ($C^{0}$-близость) $|f(x)-f_{\varepsilon }(x)|<\varepsilon$ для всех $x\in M$.

Этот результат является весьма контринтуитивным. В частности из него следует что любая замкнутая ориентированная поверхность может быть изометрично $C^{1}$-вложена в произвольно малый трёхмерный шар. Из формулы Гаусса следует, что такое вложение невозможно в классе $C^{2}$-вложений.

История

Теорема была доказана Нэшем в предположении $q>n+1$ вместо $q>n$ и приведена к настоящему виду Кёйпером с помощью нехитрого трюка.

Вариации обобщения

• Теорема Нэша о регулярных вложениях
• Теорема Громова о складках утверждает, что для любого короткого отображения из $n$-мерного риманова многообразия в $\mathbb {R} ^{n}$ существует сколь угодно близкое (негладкое) отображение, сохраняющее длины кривых.

Литература

• Н. Х. Кёйпер. О C¹-изометрических вложениях (рус.) // Математика. — 1957. — Т. 1, № 2. — С. 17—28.

• Дж. Нэш. C¹-изометрические вложения (рус.) // Математика. — 1957. — Т. 1, № 2. — С. 3—16.