Теорема Радона — Никодима

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Названа в честь Отто Никодима и Иоганна Радона.

ФормулировкаПравить

Пусть   — пространство с мерой. Предположим, что   -конечна. Если мера   абсолютно непрерывна относительно    , то существует измеримая функция  , такая что

 

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Другими словами, если вещественнозначная функция   обладает свойствами:[1]

  1.   определена на борелевской алгебре  .
  2.   аддитивна; то есть, для любого разложения   множества   на множества   выполняется равенство
     
  3.   абсолютно непрерывна; то есть, из   вытекает  .

то она представима в виде

 

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятияПравить

  • Функция  , существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры   относительно меры  . Пишут:
     

СвойстваПравить

  • Пусть   —  -конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве  . Тогда если   и  , то
 
  • Пусть  . Тогда
  выполнено  -почти всюду.
  • Пусть   и   — измеримая функция, интегрируемая относительно меры  , то
 
  • Пусть   и  . Тогда
 
  • Пусть   — заряд. Тогда
 

Вариации и обобщенияПравить

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.

ПримечанияПравить

  1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Выпуск II. Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство. - М., МГУ, 1960. - c. 74-75