Теорема Радона — Никодима

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Названа в честь Отто Никодима и Иоганна Радона.

Формулировка

Пусть $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ — пространство с мерой. Предположим, что $\mu$ — $\sigma$-конечна. Если мера $\nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ $(\nu \ll \mu )$, то существует измеримая функция $f\colon X\to \mathbb {R}$, такая что

$\nu (A)=\int \limits _{A}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F}},$

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Другими словами, если вещественнозначная функция $A\mapsto \nu (A)$ обладает свойствами:

1. $\nu$ определена на борелевской алгебре $S_{\mu }$.
2. $\nu$ аддитивна; то есть, для любого разложения $A=\bigcup _{n}A_{n}$ множества $A\in S_{\mu }$ на попарно непересекающиеся множества $A_{n}\in S_{\mu }$ выполняется равенство

   $\nu (A)=\sum _{n}\nu (A_{n})$

3. $\nu$ абсолютно непрерывна; то есть, из $\mu (A)=0$ вытекает $\nu (A)=0$.

то она представима в виде

$\nu (A)=\int _{A}f(x)d\mu ,$

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятия

• Функция $f$, существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры $\nu$ относительно меры $\mu$. Пишут:

  $f={\frac {d\nu }{d\mu }}.$

  • Если $(X,\;{\mathcal {F}})=\left(\mathbb {R} ^{k},\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{k})\right)$ — $k$-мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, $\nu =\mathbb {P} ^{X}$ — распределение некоторой случайной величины $X$, а $\mu =m$ — мера Лебега на $\mathbb {R} ^{k}$, то производная Радона — Никодима меры $\mathbb {P} ^{X}$ относительно меры $m$ называется плотностью распределения случайной величины $X$.

Свойства

• Пусть $\lambda ,\;\mu ,\;\nu$ — $\sigma$-конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве $(X,\;{\mathcal {F}})$. Тогда если $\mu \ll \lambda$ и $\nu \ll \lambda$, то

${\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }}={\frac {d\mu }{d\lambda }}+{\frac {d\nu }{d\lambda }}.$

• Пусть $\nu \ll \mu \ll \lambda$. Тогда

${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}$ выполнено $\lambda$-почти всюду.

• Пусть $\mu \ll \lambda$ и $g\colon X\to \mathbb {R}$ — измеримая функция, интегрируемая относительно меры $\mu$, то

$\int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }}(x)\,\lambda (dx).$

• Пусть $\mu \ll \nu$ и $\nu \ll \mu$. Тогда

${\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.$

• Пусть $\nu$ — заряд. Тогда

${d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.$

Применение

Теорема и соответствующая производная Радона-Никодима широко используется в стохастической финансовой математике в процедурах замены вероятностной меры для стохастических процессов динамики цен финансовых и других активов и процентных ставок. В частности, стандартным является переход от физической вероятностной меры к так называемой риск-нейтральной мере

Вариации и обобщения

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.