Открыть главное меню

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

ФормулировкаПравить

Пусть   — пространство с мерой и мера    -конечна. Тогда если мера   абсолютно непрерывна относительно    , то существует измеримая функция  , такая что

 

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятияПравить

  • Функция  , существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры   относительно меры  . Пишут:
     

СвойстваПравить

  • Пусть   —  -конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве  . Тогда если   и  , то
 
  • Пусть  . Тогда
  выполнено  -почти всюду.
  • Пусть   и   — измеримая функция, интегрируемая относительно меры  , то
 
  • Пусть   и  . Тогда
 
  • Пусть   — заряд. Тогда
 

Вариации и обобщенияПравить

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.

См. такжеПравить