Теорема Фейта — Томпсона

Теорема Фейта — Томпсона или теорема о нечётном порядке утверждает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Теорему доказали Вальтер Фейт[en] и Джон Григгс Томпсон[1][2].

ИсторияПравить

Разница между нечётными и чётными порядками, которую показывает этот результат, внушает как следствие, что простые группы нечётного порядка не существуют.

— (William Burnside, p. 503 Note M)

Уильям Бёрнсайд[3] высказал предположение, что любая неабелева конечная простая группа[en] имеет чётный порядок. Ричард Брауэр[4] высказал предположение, используя централизаторы инволюций простых групп в качестве базиса для классификации конечных простых групп как в теореме Теорема Брауэра — Фаулера[en], что существует лишь конечное число конечных простых групп с данным центром инволюции. Группа нечётного порядка не имеет инволюций, так что для исполнения плана Брауэра в первую очередь необходимо показать, что нециклические конечные простые группы никогда не имеют нечётного порядка. Это эквивалентно доказательству, что группы с нечётным порядком разрешимы, что и доказали Томпсон и Фейт.

Атаку на гипотезу Бёрнсайда начал Сузуки[5], который изучал CA группы[6]. Это группы, в которых централизатор любого нетривиального элемента является абелевым. В своей работе он показал, что все CA-группы нечётного порядка разрешимы. (Позднее он классифицировал все простые CA-группы и все простые группы, в которых централизатор любой инволюции имеет нормальную 2-силовскую подгруппу, найдя в процессе классификации пропущенное семейство простых групп лиева типа, которое теперь носит название группы Судзуки[en].)

Фейт, Холл и Томпсон[7] расширили работу Сузуки на семейство CN-групп[en]. Это группы, в которых централизатор любого нетривиального элемента является нильпотентным[8]. Они показали, что любая CN-группа нечётного порядка разрешима. Их доказательство похоже на доказательство Сузуки. Доказательство заняло около 17 страниц, что было на то время очень большим для теории групп.

Теорему Фейта — Томпсона можно рассматривать как следующий шаг в этом процессе — они показали, что не существует нециклической простой группы нечётного порядка, в которой любая собственная подгруппа является разрешимой. Это доказывает, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима, поскольку минимальный контрпример[en] должен быть простой группой, в которой любая собственная подгруппа разрешима. Хотя схема доказательства близка к схемам доказательства теорем для CA и CN групп, детали существенно более сложные, так что конечная статья имела 255 страниц текста.

Значение доказательстваПравить

Теорема Фейта — Томпсона показала, что классификация конечных простых групп с помощью централизаторов инволюций возможна, поскольку любая неабелева простая группа имеет инволюцию. Многие техники, применённые в доказательстве теоремы, а особенно идея локального анализа[en], были позднее развиты в методы, используемые в классификации. Видимо, наиболее революционным аспектом доказательства была его длина — до статьи Фейта и Томпсона редкие статьи в теории групп превышали нескольких страниц и, в основном, их можно было изучить за день. Когда исследователи теории групп осознали, что длинные выкладки могут сработать, начали появляться статьи, содержащие сотни страниц. Некоторые даже превосходят статью Фейта и Томпсона, например, статья Михаэля Ашбахера и Стефена Д. Смита о квазитонких группах[en]s имеет 1.221 страницу.

Пересмотр доказательстваПравить

Многие математики упростили части исходного доказательства Фейта и Томпсона. Однако все эти улучшения в некотором смысле локальны, основная структура изложения осталась той же самой, но некоторые детали доказательства были упрощены.

Упрощённое доказательство было опубликовано в двух книгах — книге Бендера и Глаубермана[9], в которой приведено всё, за исключением теории характера, и книге Петерфалви[10], в которой изложена теория характера. Это пересмотренное доказательство остаётся очень сложным и длиннее исходного доказательства, но написано в более лёгком стиле.

Конечное формальное доказательство, проверенное с помощью системы автоматического доказательства теорем[en] Coq, объявил в сентябре 2012 Жорж Гонтье, работавший вместе с группой сотрудников в подразделении Microsoft Research и INRIA[11].

Схема доказательстваПравить

Вместо прямого описания теоремы Фейта — Томпсона проще описать CA-теорему Сузуки, а затем пояснить некоторые дополнения, необходимые для CN-теоремы и теоремы о нечётном порядке. Доказательство можно разбить на три шага. Пусть G будет неабелевой (минимальной) простой группой нечётного порядка, удовлетворяющей условиям CA-теоремы. Для более детального изложения статьи о нечётном порядке см. статью Томпсона[12], Горенштейна[13] или Глаубермана[14].

Шаг 1. Локальный анализ структуры группы GПравить

В случае CA анализ прост, поскольку отношение «a коммутирует с b» является отношением эквивалентности на неединичных элементах. Таким образом, элементы разбиваются на классы эквивалентности и каждый класс эквивалентности является множеством неединичных элементов максимальной абелевой подгруппы. Нормализаторы этих максимальных абелевых подгрупп оказывается в точности максимальными собственными подгруппами группы G. Эти нормализаторы являются группами Фробениуса[en], теория характеров для которых вполне прозрачна и подходит для манипуляции, использующей индукцированный характер. Также множество простых делителей|G|разбивается согласно простым числам, которые делят порядки различных классов смежности максимальных абелевых подгрупп. Подход, разбивающий простые делители |G| согласно классам смежности некоторых подгрупп Холла[en] (Подгруппа Холла — это подгруппа, порядок которой и индекс взаимно просты), которые соответствуют максимальным подгруппам группы G (с точностью до смежности), повторяется в доказательстве как CN-теоремы Фейта — Холла — Томпсона, так и теоремы Фейта — Томпсона о нечётном порядке. Каждая максимальная подгруппа M имеет некоторую нильпотентную подгруппу Холла Mσ с нормализатором, содержащимся в M, порядок которой делится на некоторые простые числа, образующие множество  . Две максимальные подгруппы смежны тогда и только тогда, когда множества   совпадают, а если они не смежны, множества   не пересекаются. Любое простое число, делящее порядок группы G, оказывается в некотором множестве  . Таким образом, простые делители порядка группы G разбиваются на классы смежности, соответствующие классам смежности максимальных подгрупп. Доказательство случая CN уже существенно сложнее случая CA — основной дополнительной проблемой становится доказательство, что две различные силовские подгруппы пересекаются по единичному элементу. Эта часть теоремы о нечётном порядке занимает более 100 журнальных страниц. Ключевым шагом является доказательство теоремы Томпсона о единственности[en], утверждающей, что абелевы подгруппы нормального ранга, не меньшего 3, содержатся в единственной максимальной подгруппе, что означает, что простые числа p, для которых силовские p-подгруппы имеют нормальный ранг, не превосходящий 2, нужно рассматривать отдельно. Бендер позднее упростил доказательство теоремы единственности, используя метод Бендера[en]. В то время как в случае CN результирующие максимальные подгруппы M остаются группами Фробениуса, максимальные подгруппы, появляющиеся в доказательстве теоремы о нечётном порядке могут не иметь такой структуры и анализ их структуры и взаимосвязей даёт 5 возможных типов максимальных подгрупп, которые обозначаются как типы I, II, III, IV, V. Подгруппы типа I — это подгруппы «фробениусового типа», небольшое обобщение группы Фробениуса, и, фактически, позднее в доказательстве показывается, что они являются группами Фробениуса. Они имеют структуру  , где   — наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа Холла, а U имеет подгруппу   с тем же показателем, так что   является группой Фробениуса с ядром  . Типы II, III, IV, V все являются 3-шаговыми группами[en] со структурой  , где   является порождённое подгруппой группы M. Разделение на типы II, III, IV и V зависит от структуры и вложения подгруппы U следующим образом:

  • Type II: U нетривиальная абелева и её не нормализатор содержится в M.
  • Type III: U нетривиальная абелева и её нормализатор содержится в M.
  • Type IV: U неабелева.
  • Type V: U тривиальна.

Все, кроме двух классов максимальных подгрупп, имеют тип I, но могут быть ещё два класса максимальных подгрупп, один типа II, а другой типа II, III, IV или V.

Шаг 2. Теория характера группы GПравить

Если X является неприводимым характером нормализатора H максимальной абелевой подгруппы A CA-группы G, не содержащей A в своём ядре, мы можем из X получить характер Y группы G, который не обязательно неприводим. Из известной структуры группы G просто найти значения характера Y для всех элементов группы G, кроме единицы. Из этого следует, что когда X1 и X2 являются двумя неприводимыми характерами нормализатора H, а Y1 и Y2 являются соответствующими индуцированными характерами, то Y1 − Y2 полностью определено и вычисление его нормы показывает, что это разность двух неприводимых характеров группы G (их иногда называют исключительными характерами[en] группы G для нормализатора H). Подсчёт показывает, что каждый нетривиальный неприводимый характер группы G возникает ровно один раз как исключительный характер, ассоциированный с нормализатором некоторой максимальной абелевой подгруппы группы G. Похожая аргументация (с заменой абелевых подгрупп Холла на нильпотентные подгруппы Холла) работает в доказательстве CN-теоремы. Однако в доказательстве теоремы о нечётном порядке аргументация построения характеров группы G из характеров подгрупп более тонкая и использует изометрию Дейда[en] между кольцами характеров, а не индуцированные характеры, поскольку максимальные подгруппы имеют более сложные структуры и вкладываются менее прозрачным способом. Теория исключительных характеров заменяется теорией когерентных множеств характеров[en] для расширения изометрии Дейда. Грубо говоря, эта теория говорит, что изометрия Дейда может быть расширена, если группа не содержит некоторую определённую структуру. Петерфалви[15] описывает упрощённую версию теории характера (по статьям Деда, Сибли и Петерфалви).

Шаг 3. Конечное противоречиеПравить

На шаге 2 мы имеем полное и точное описание таблицы характеров CA-группы G. Отсюда, используя факт, что G имеет нечётный порядок, доступна необходимая информация для получения оценки |G| и достижения предположения, что G является простой. Эта часть доказательства аналогично работает для случая CN-групп.

В доказательстве теоремы Фейта — Томпсона, однако, это шаг (как обычно) намного более сложный. Теория характера только исключает некоторые возможные конфигурации, оставшиеся после шага 1. Сначала Фейт и Томпсон показали, что максимальные подгруппы типа I все являются группами Фробениуса. Если все максимальные подгруппы имеют тип I, то аргументы, подобные случаю CN, показывают, что группа G не может иметь минимальной простой группой нечётного порядка, так что имеется в точности два случая максимальных подгрупп типа II, III, IV или V. Большая часть остального доказательства фокусируется на этих двух типах максимальных подгрупп S и T и связи между ними. Некоторые другие аргументы, относящиеся к теории характеров, показывают, что они не могут быть типа IV или V. Две подгруппы имеют определённую структуру — подгруппа S имеет порядок   и состоит из всех автоморфизмов лежащего в основе конечного поля порядка pq вида  , где a имеет норму 1 и   является автоморфизмом конечного поля, где p и q — различные простые. Максимальная подгруппа T имеет подобную структуру с обменом p и q. Подгруппы S и T тесно связаны. Если принять, что p>q, можно показать, что циклическая подгруппа S порядка   сопряжена с подгруппой циклической подгруппы T порядка  . (В частности, первое число делит второе, так что в случае верности гипотезы Фейта — Томпсона из этого следовало бы, что такое произойти не может, и можно было бы доказательство нa этом месте прекратить. Однако гипотеза остаётся недоказанной.)

После применения теории характера к группе G заключаем, что G имеет следующую структуру: существуют простые p>q, такие, что   взаимно просто с p–1 и G имеет подгруппу, задаваемую полупрямым произведением PU, где P — аддитивная группа конечного поля порядка  , а U является её элементами с нормой 1. Однако группа G имеет абелеву подгруппу Q с порядком, взаимно простым с p, содержащую элемент y, такой что P0 нормализует Q и   нормализует U, где   является аддитивной группой конечного поля порядка p. (Для p=2 возникает подобная конфигурация в группе  , с PU борелевой подгруппой верхних треугольных матриц, а Q — подгруппа порядка 3, генерируемая y=(01
11
).) Чтобы исключить этот финальный случай, Томпсон использует некоторые наводящие ужас сложные манипуляции с генераторами и соотношениями, которые позднее упростил Петерфалви[16], аргументы которого приведены в статье Бендера и Глаубермана[9]. Доказательство проверяет множество элементов a в конечном поле порядка pq, таких что a и 2–a имеют норму 1. Сначала проверяем, что это множество имеет по меньшей мере один элемент, отличный 1. Тогда достаточно сложные аргументы, использующие генераторы и связи в группе G, показывают, что множество замкнуто по взятию обратного. Если a находится в множестве и не равно 1, то многочлен N((1–a)x+1)–1 имеет степень q и имеет по меньшей мере p различных корней, заданными элементами x из Fp, используют факт, что   отображает множество в себя, так что pq, что противоречит предположению p>q.

Использование нечётностиПравить

Факт, что порядок группы G нечётен, используется в нескольких местах доказательства следующим образом [12].

  • Теорема Холла — Хигмана[en] сильнее для групп нечётного порядка.
  • В группах нечётного порядка все неглавные характеры встречаются в парах комплексной сопряжённости.
  • Некоторые результаты о p-группах верны только для нечётных простых p.
  • Если группа нечётного порядка не имеет абелевых подгрупп ранга 3, то её производная группа нильпотентна. (Это неверно для симметрической группы S4 чётного порядка.)
  • Некоторые аргументы, использующие теорию характера, не проходят для малых простых, в частности, для простого 2.

ПримечанияПравить

  1. Feit, Thompson, 1962.
  2. Feit, Thompson, 1963.
  3. Burnside, 1911, с. 503 Note M.
  4. Brauer, 1957.
  5. Suzuki, 1957.
  6. CA = Centralizer (централизатор) и Abelian (абелева).
  7. Feit, Hall, Thompson, 1960.
  8. CN = Centralizer (централизатор) и Nilpotent (нильпотентная).
  9. 1 2 Bender, Glauberman, 1994.
  10. Peterfalvi, 2000, с. part I.
  11. Msr-inria, 2012.
  12. 1 2 Thompson, 1963.
  13. Gorenstein, 1980.
  14. Glauberman, 1999.
  15. Peterfalvi, 2000.
  16. Peterfalvi, 1984.

ЛитератураПравить