Открыть главное меню

Функция Грина для случайно-неоднородной среды

Главным образом, интерес к вопросу распространения волн в случайно-неоднородных средах (какой является, например, атмосфера) можно объяснить бурным развитием спутниковых технологий. В этом случае становится важной задача расчета характеристик (например, амплитуды) волны прошедшей через среду и установления их связей с параметром неоднородности среды. Важную роль здесь и играет функция Грина для случайно-неоднородной среды, зная которую можно определить эти характеристики. Рассматривается прохождение света через среду с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью.

Волновое уравнение в случайно неоднородной среде. Функция ГринаПравить

Рассеяние электромагнитных волн в такой среде определяется системой уравнений Максвелла. Основные отличительные черты рассеяния можно рассматривать для упрощенной модели: скалярного поля  . Этим скалярным полем заменяются напряженности электрического и магнитного полей, тогда   удовлетворяет волновому уравнению:

 
 

где   — скорость света в вакууме,   — среднее значение диэлектрической проницаемости,   — флуктуации диэлектрической проницаемости. Обратим внимание, что среднее значение диэлектрической проницаемости   предполагается независящим от координат и времени, то есть в среднем система однородна и изотропна, также с хорошей точностью в первом приближении можно считать, что и неусреднённая диэлектрическая проницаемость   не зависит от времени. Это объясняется тем, что характерные времена, отвечающие за молекулярные процессы в системе, на несколько порядков больше характерных времён электромагнитного поля, поэтому среда как бы «не успевает среагировать» на изменение поля.

Волновое уравнение с такой диэлектрической проницаемостью на самом деле является примером стохастического уравнения, так как в нём присутствует случайный параметр  . Этот параметр входит в уравнение с помощью умножения, то есть мультипликативно, а не с помощью сложения (аддитивно), как в известном уравнении для броуновского движения.

Описывая рассеяние, интересны характеристики поля  , усреднённые по флуктуациям диэлектрической проницаемости. Эти характеристики: среднее значение поля   и интенсивность  , которую определяет средний квадрат поля (усреднение так же ведётся по флуктуациям диэлектрической проницаемости)  . Статистику флуктуаций считаем заданной, а также учитываем, что усреднённое отклонение от среднего значения диэлектрической проницаемости равно нулю:

 

Начальное однородное волновое уравнение всегда имеет решение в виде  . Это очевидное тривиальное решение. Легко показать, что при отсутствии флуктуаций ненулевым решением является плоская монохроматическая волна вида:

 

Подставим это выражение в волновое уравнение. Получаем:

 

Отсюда ясно, что предложенное решение будет удовлетворять уравнению, если частота плоской волны   и волновой вектор   связаны дисперсионным соотношением:

 

Понятно, что любая линейная комбинация волн, отвечающих дисперсионному соотношению, тоже является решением волнового уравнения в отсутствие флуктуаций диэлектрической проницаемости.

Определим функцию Грина  . Пусть эта функция является решением начального волнового уравнения, в правую часть которого добавлен расположенный в начале координат монохроматический источник (частота источника  ). Полагаем, что источник «адиабатически включился в бесконечно далёком прошлом», для этого дополним правую часть множителем  , где   — малая положительная величина. В окончательных выражениях будем устремлять её к нулю. Итого функция Грина удовлетворяет уравнению:

 

Удобно искать решение этого уравнения в виде  . Подставляя это выражение в уравнение для функции Грина, получаем:

 

От двойного дифференцирования экспоненты по времени появится множитель  , тогда получаем уравнение для функции  :

 

Нужно решить это уравнение для некоторой диэлектрической проницаемости   а затем усреднить это решение по всевозможным отклонениям  . Но оказывается, что нет возможности получить решение этого уравнения при произвольной диэлектрической проницаемости, поэтому решение ищется с использованием теории возмущений, полагая отклонение   малой величиной.

Функция Грина для среды без флуктуаций диэлектрической проницаемостиПравить

Для начала необходимо найти функцию Грина  , отвечающую волновому уравнению без отклонений диэлектрической проницаемости, то есть  :

  (1)

Снова ищем решение в виде  . Тогда   удовлетворяет уравнению:

  (2)

где величиной  . Видно, что у   присутствует мнимая положительная часть, далее нам это понадобится. Уравнение   удобно решать с помощью преобразования Фурье вида:

  (3)
  (4)

Выражение   — прямое Фурье-преобразование,   — Фурье-образ функции  , выражение   — обратное Фурье-преобразование. Образ функции Грина   будем обозначать через  . Применяя Фурье-преобразования к уравнению   и учитывая, что  -функция является Фурье-образом единицы, получаем:

  (5)
  (6)

Чтобы получить функцию   делаем обратное Фурье-преобразование  :

  (7)

Будем вычислять этот интеграл в сферической системе координат, выбрав полярную ось вдоль вектора   (под полярной осью, понимается ось, от которой отсчитывается угол  ):

 
 
 
 

Для вычисления интеграла по сферическим координатам, мы воспользовались четностью функции  , а также последние интегралы брались по вычетам. Для первого слагаемого контур интегрирования замыкался сверху, в этой полуплоскости затухает  , тогда вычет берётся в  . Для второго слагаемого замыкали контур в нижней полуплоскости, и тогда срабатывает вычет в точке  , при этом необходимо не забыть, что контур обходится по часовой стрелке, тогда как в теореме по вычетам используется обход против часовой стрелки. Направление обхода можно легко изменить, добавив во втором слагаемом множитель  .

Итоговое выражение для функции Грина будет:

 

Это расходящаяся сферическая волна. Амплитуда этой волны убывает как   по мере удаления от источника.

Функция Грина с учётом флуктуаций диэлектрической проницаемостиПравить

Перепишем уравнение

 

в виде

 

Для использования теории возмущения, в которой мы будем считать   малой величиной, удобнее перейти к интегральному аналогу предыдущего уравнения:

 

Тогда можно легко написать итерационное решение в виде ряда:

 
 

Величина   — случайная величина. В дальнейшем её необходимо усреднить по всевозможным флуктуациям диэлектрической проницаемости. Это представляет собой следующий трудоёмкий шаг.

ЛитератураПравить

  • Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику. — Ч. 2. Случайные поля. — М.: Наука, 1978.
  • Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. — Т. 1, 2. — М.: Мир, 1981.