Абелианизация

Абелианиза́ция — способ превратить произвольную группу в абелеву. Является полезным инструментом в теории групп, который находит применение в алгебраической топологии.

C помощью абелианизации возможно описать аддитивные инварианты группы, то есть гомоморфизмы из данной группы в некоторую абелеву. Также она зачастую позволяет свести задачу проверки неизоморфности групп, заданных образующими и соотношениями, к более простой аналогичной задаче для абелевых, особенно в случае конечно-порождённых.

Введение

Превращение группы в коммутативную подразумевает отождествление элементов $xy$ и $yx$ для всех $x,y\in G$. В частности, такая процедура приравняет каждый коммутатор $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$ к нейтральному элементу группы.

Верно и обратное: если каждый коммутатор эквивалентен единице группы, из формулы $xy=[x,y]yx$ следует, что любые два её элемента коммутируют. Таким образом, отождествления каждого коммутатора с единицей необходимо и достаточно для превращения произвольной группы в коммутативную. На языке теории групп оно называется факторизацией по коммутанту — подгруппе, порождённой всеми коммутаторами.

Абелианизацией группы $G$ называется её факторгруппа по коммутанту:

$G^{ab}:=G/[G,G]$.

Также для абелианизации используются обозначения $G_{ab}$ и ${\rm {Ab}}(G)$.

Связанные определения

Естественная проекция $G\to G^{ab}$ называется гомоморфизмом абелианизации и обозначается символом ${\rm {ab}}$. Её ядро совпадает с коммутантом группы $G$.

Группа называется каиновой, если её абелианизация тривиальна.

Свойства

Абелианизация любой группы является абелевой группой. Любая абелева группа изоморфна своей абелианизации.

Абелианизация группы является её наибольшим абелевым фактором в том смысле, что факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы.

Сопоставление $G\to G^{ab}$ продолжается до функтора из категории групп в категорию абелевых групп. А именно, каждому гомоморфизму $f\colon G\to H$ сопоставляется гомоморфизм $f^{ab}\colon G^{ab}\to H^{ab}$, определяющийся формулой $f^{ab}([x]):=[f(x)]$, где $[a]$ обозначает смежный класс элемента $a$.

Абелианизация группы, имеющей задание образующими и соотношениями $G\cong \langle S\mid R\rangle$, допускает задание

$G^{ab}\cong \langle S\mid R\cup \{[s,t]:s,t\in S\}\rangle$.

Универсальное свойство

Абелианизация и гомоморфизм абелианизации удовлетворяют следующему так называемому универсальному свойству. Для любого гомоморфизма $f\colon G\to A$ в любую абелеву группу $A$ существует такой единственный гомоморфизм $F\colon G^{ab}\to A$, что $f=F\circ {\rm {ab}}$. Универсальность состоит в том, что, как легко проверяется, любая другая группа, удовлетворяющая данному свойству, изоморфна группе $G^{ab}$.

Данное свойство позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между всеми гомоморфизмами из группы $G$ в некоторую абелеву группу $A$ и всеми гомоморфизмами из абелианизации $G^{ab}$ в $A$. При таком соответствии каждому гомоморфизму $g\colon G^{ab}\to A$ сопоставляется композиция $g\circ {\rm {ab}}\colon G\to A$. Условие биективности данного соответствия эквивалентно универсальному свойству абелианизации.

Указанное соответствие осуществляет изоморфизм групп гомоморфизмов:

$\mathrm {Hom} (G,A)\cong \mathrm {Hom} (G^{ab},A)$.

С точки зрения теории категорий данный изоморфизм означает, что функтор абелианизации является левым сопряжённым к забывающему функтору из категории абелевых групп в категорию всех групп.

Гомологии

Абелианизация является полезным инструментом в алгебраической топологии. Так, абелианизация фундаментальной группы любого линейно связного топологического пространства изоморфна его первой группе гомологий с целыми коэффициентами:

$\pi _{1}(X)^{ab}\cong H_{1}(X,\mathbb {Z} )$.

В частности, данный изоморфизм применим при вычислении гомологий групп. А именно, первая группа гомологий с целыми коэффициентами группы $G$ изоморфна её абелианизации: $H_{1}(G,\mathbb {Z} )\cong G^{ab}$.

Данные соотношения являются основой для аналогии, гласящей, что теория гомологий является абелианизацией теории гомотопий. Точный смысл данному утверждению можно придать с помощью теоремы Гуревича и теоремы Дольда — Тома.

Примеры

Абелианизация свободной группы $F_{n}$ ранга $n$ изоморфна свободной абелевой группе $\mathbb {Z} ^{n}$ того же ранга. Гомоморфизм абелианизации $F_{n}\to \mathbb {Z} ^{n}$ сопоставляет каждому элементу упорядоченный набор из его экспоненциальных сумм по базисным образующим, то есть набор сумм степеней соответствующих символов в его записи. Таким образом, коммутант свободной группы состоит из тех элементов, у которых экспоненциальная сумма по каждой образующей равна нулю.

Абелианизация полной линейной группы ${\rm {GL}}_{n}(\mathbb {R} )$ изоморфна мультипликативной группе $\mathbb {R} ^{\ast }$ поля $\mathbb {R}$ вещественных чисел. Гомоморфизм абелианизации ${\rm {GL}}_{n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\ast }$ совпадает с определителем. В частности, коммутант группы ${\rm {GL}}_{n}(\mathbb {R} )$ совпадает со специальной линейной группой ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )$. Аналогичное верно для полных линейных групп над произвольным полем, за исключением случая ${\rm {GL}}_{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$.

Абелианизация группы кос $B_{n}$ изоморфна бесконечной циклической группе $\mathbb {Z}$. Гомоморфизм абелианизации $B_{n}\to \mathbb {Z}$ сопоставляет косе её экспоненциальную сумму. В частности, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю.

Литература

• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.. Основы теории групп (рус.). — 4. — Наука, 1996. — 288 с. — ISBN 502014634X.
• Хатчер А. Алгебраическая топология (рус.). — М.: МЦНМО, 2011. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5.