Алгебра Валя (или Алгебра Валентины) — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. Условию антисимметричности:

для всех .

2. Тождеству Валентины:

для всех , где k=1,2,…,6, и

3. Условию билинейности:

для всех и .

Можно сказать, что M является алгеброй Валентины, если коммутант этой алгебры является лиевой подалгеброй. Любая алгебра Ли является алгеброй Валентины.

Билинейная мультипликативная операция в алгебре Валентины, так же как в алгебре Ли, не является ассоциативной операцией.

Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру . При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то будет алгеброй Валя. Алгебра Валя является обобщением алгебры Ли, которая является частным примером алгебры Валентины.

Алгебры Валя могут быть использованы для описания диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Примеры алгебры Валентины

править

(1) Любая конечная алгебра Валя является касательной алгеброй аналитических локальных коммутантно-ассоциативных луп (луп Валя), аналогично тому как конечные алгебры Ли являются касательными алгебрами аналитических локальных групп (групп Ли). Это утверждение является аналогом соответствия между аналитическими локальными группами (группами Ли) и алгебрами Ли.

(2) Билинейная операция для дифференциальных 1-форм

 

на симплектическом многообразии, определяемая по правилу

 

где   — 1-форма. Эта билинейная операция на множестве незамкнутых 1-форм задает алгебру Ли.

Если   и   являются замкнутыми 1-формами, то   и

 

Эта билинейная операция на множестве замкнутых 1-форм задает алгебру Ли.

Эта билинейная операция на множестве незамкнутых дифференциальных 1-форм задает уже не алгебру Ли, а алгебру Валентины, которая не является алгеброй Ли.

См. также

править

Литература

править