Булево кольцо

Булево кольцо — кольцо с идемпотентным умножением, то есть, кольцо $(R,+,\cdot )$, в котором $x^{2}=x$ для всех $x\in R$.

Связь с булевой алгеброй

Самый известный пример булева кольца получается из булевой алгебры $(B,\land ,\lor ,\lnot )$ введением сложения и умножения следующим образом:

• $x+y=(x\land \lnot y)\lor (\lnot x\land y)$,
• $x\cdot y=x\land y$.

В частности, булеан некоторого множества $X$ образует булево кольцо относительно симметрической разности и пересечения подмножеств. В связи с этим основным примером, вводящим сложение в булевом кольце как «исключающее или» для булевых алгебр, а умножение — как конъюнкцию, для сложения в булевых кольцах иногда используются символ $\oplus$, а для умножения — знаки решёточной нижней грани ($\land$, $\cap$, $\sqcap$).

Всякое булево кольцо, полученное таким образом из булевой алгебры, обладает единицей, совпадающей с единицей исходной булевой алгебры. Кроме того, всякое булево кольцо с единицей $(R,+,\cdot ,1)$ однозначно определяет булеву алгебру следующими определениями операций:

• $x\land y=x\cdot y$,
• $x\lor y=x+y+xy$,
• $\lnot x=1+x$.

Свойства

В каждом булевом кольце $(R,+,\cdot )$ выполнено $x+x=0$ как следствие идемпотентности относительно умножения:

$x+x=(x+x)^{2}=x+x+x+x$,

и так как $(R,+)$ в кольце является абелевой группой, то можно вычесть компонент $x+x$ из обеих частей этого уравнения.

Всякое булево кольцо коммутативно, что также является следствием идемпотентности умножения:

$x+y=(x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}=x+y+xy+yx$,

что даёт $xy+yx=0$, что, в свою очередь, означает $xy=yx$.

Всякое нетривиальное конечное булево кольцо является прямой суммой полей вычетов по модулю 2 ($\mathbb {Z} _{2}$) и обладает единицей.

Факторкольцо $R/I$ любого булева кольца по произвольному идеалу $I$ также является булевым кольцом. Таким же образом, любое подкольцо некоторого булева кольца является булевым кольцом. Каждый простой идеал $P$ в булевом кольце $R$ является максимальным: факторкольцо $R/P$ является областью целостности, а также булевым кольцом, поэтому оно изоморфно полю $\mathbb {F} _{2}$, что показывает максимальность $P$. Так как максимальные идеалы всегда простые, понятия простого и максимального идеалов совпадают для булевых колец.

Булевы кольца являются абсолютно плоскими, то есть любой модуль над ними является плоским.

Каждый идеал с конечным числом образующих булева кольца является главным.

Литература

• M. Atiyah, I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra. — Westview Press, 1969. — ISBN 978-0-201-40751-8.
• John B. Fraleigh. A First Course In Abstract Algebra. — 2nd. — Reading: Addison-Wesley, 1976. — ISBN 0-201-01984-1.
• I. N. Herstein. Topics In Algebra. — Waltham: Blaisdell Publishing, 1964. — ISBN 978-1114541016.
• Neal H. McCoy. Introduction To Modern Algebra. — revised. — Boston: Allyn and Bacon, 1968.