Плоский модуль
Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность.
Векторные пространства, свободные и, более общо, проективные модули являются плоскими. Для конечнопорождённых модулей над нётеровыми кольцами плоские модули — то же самое, что проективные модули. Для конечнопорождённых модулей над локальными кольцами все плоские модули свободны.[1]
Понятие плоского модуля было введено Серром в 1955 году.
Определение
правитьМожно дать несколько эквивалентных определений плоского модуля.
- (Левый) -модуль называется плоским тогда и только тогда, когда функтор является точным.
- Поскольку функтор тензорного произведения всегда точен справа, предыдущее требование можно ослабить. А именно, -модуль является плоским, если для любого инъективного гомоморфизма -модулей индуцированное отображение также инъективно.
- Модуль является плоским, если каждого конечнопорождённого идеала в кольце (с естественным вложением ) индуцированное отображение инъективно.
Свойства плоских модулей над коммутативным кольцом
правитьДля любой мультипликативной системы S кольца R кольцо частных S−1R является плоским R-модулем.
Конечнопорождённый модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является локально свободным. Локально свободный модуль над кольцом R — это такой модуль M, что его локализация по любому простому идеалу является свободным модулем над кольцом частных .
Если кольцо S является R-алгеброй, то есть существует гомоморфизм , имеет смысл спросить, является ли эта алгебра плоским R-модулем. Оказывается, что S является строго плоским модулем тогда и только тогда, когда каждый простой идеал кольца R является прообразом под действием f некоторого простого идеала из S, то есть когда отображение сюръективно (см. статью Спектр кольца).
Плоские модули можно указать на следующей цепочке включений:
- Модули без кручения ⊃ плоские модули ⊃ проективные модули ⊃ свободные модули.
Для некоторых классов колец верны и обратные включения: например, каждый модуль без кручения над дедекиндовым кольцом является плоским, плоский модуль над артиновым кольцом является проективным и проективный модуль над областью главных идеалов (или над локальным кольцом) является свободным.
Категорные копределы
правитьПрямые суммы и прямые пределы плоских модулей являются плоскими. Это следует из того факта, что тензорное произведение коммутирует с прямыми суммами и прямыми пределами (более того, оно коммутирует со всеми копределами). Подмодули и фактормодули плоского модуля не обязательно являются плоскими (например, плоским не является модуль Z/2Z). Однако если подмодуль плоского модуля является в нём прямым слагаемым, то фактор по нему является плоским.
Модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является прямым пределом конечнопорождённых свободных модулей.[2] Из этого следует, в частности, что каждый конечно представленный плоский модуль является проективным.
Гомологическая алгебра
правитьСвойство «плоскости» модуля можно выразить при помощи функтора Tor, левого производного функтора для тензорного произведения. Левый R-модуль M является плоским тогда и только тогда, когда TornR(-, M) = 0 для всех (то есть когда TornR(X, M) = 0 для всех и всех правых R-модулей X), определение плоского правого модуля аналогично. Используя этот факт, можно доказать несколько свойств короткой точной последовательности модулей:
- Если A и C плоские, то и B плоский.
- Если B и C плоские, то и A плоский.
Если A и B плоские, C в общем случае не является плоским. Однако
- Если A — прямое слагаемое модуля B и B плоский, то A и C плоские.
Плоские резольвенты
правитьПлоская резольвента модуля M — это резольвента вида
- … → F2 → F1 → F0 → M → 0
где все Fi плоские. Плоские резольвенты используются при вычислении функтора Tor.
Длина плоской резольвенты — это наименьший индекс n, такой что Fn не равен нулю Fi=0 для всех i, большах n. Если модуль M допускает конечную плоскую резольвенту, её длина называется плоской размерностью модуля.[3], в противном случае говорят, что плоская размерность бесконечна. Например, если модуль M имеет плоскую размерность 0, то из точности последовательности 0 → F0 → M → 0 следует, что M изоморфен F0, то есть является плоским.
Примечания
править- ↑ Matsumura, 1970, Proposition 3.G
- ↑ Lazard, D. (1969), "Autour de la platitude", Bulletin de la Société Mathématique de France, 97: 81—128, Архивировано из оригинала 3 марта 2014, Дата обращения: 16 июля 2013
- ↑ Lam, 1999, p. 183.
Литература
править- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
- Eisenbud, David (1995), Commutative algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, p. 800, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Enochs, Edgar E. (1981), "Injective and flat covers, envelopes and resolvents", Israel J. Math., 39 (3): 189—209, doi:10.1007/BF0276084, ISSN 0021-2172, MR 0636889
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Mac Lane, Saunders (1963), Homology, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Boston, MA: Academic Press, MR 0156879
- Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra
- Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique", Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier, 6: 1—42, doi:10.5802/aif.59, ISSN 0373-0956, MR 0082175