Группа трилистника — группа узла трилистника, простейшего нетривиального узла. Является классическим объектом изучения комбинаторной теории групп, который возникает в теории кос, алгебраической геометрии и алгебраической К-теории[англ.].

Левый трилистник

История

править

С группой трилистника связана важная проблема теории узлов о неэквивалентности узла трилистника и его зеркального образа (так называемых левых и правых трилистников), поставленная Титце в 1908 году[1]. Данные узлы не удавалось отличить имеющимися на тот момент инструментами, поскольку их группы изоморфны, и это побуждало исследователей к поиску новых методов. Решение проблемы Титце было получено Деном в 1914 году на основе анализа действия автоморфизма группы трилистника, индуцированного зеркальным отражением этого узла, на периферической системе трилистника — его меридиане и параллели.

Определение

править

Группой трилистника называется фундаментальная группа дополнения узла трилистника  :

 .

Группа трилистника может быть следующим образом задана образующими и соотношениями.

Копредставление Виртингера[англ.], вычисленное на основе стандартной диаграммы трилистника, имеет вид

 .

Копредставление Дена, вычисленное на основе стандартной диаграммы трилистника, имеет вид[2]

 .

Группа трилистника является элементом серии групп   торических узлов и зацеплений типа  . В частности, она допускает стандартное для этой серии задание

 .

Данное задание может быть получено из копредставления Виртингера правилами   и  , или, что то же самое,   и  .

Связь с теорией кос

править

Группа трилистника изоморфна группе кос   из трёх нитей:

 .

А именно, в образующих   и   копредставление Виртингера принимает вид стандартного копредставления группы кос  :

 .

Концептуальным объяснением данного изоморфизма является гомотопическая эквивалентность дополнения трилистника и конфигурационного пространства   неупорядоченных наборов трёх различных точек на плоскости (см. Конфигурационное пространство (топология) § Тройки точек на плоскости).

Связь с алгебраической геометрией

править

Группа трилистника изоморфна локальной фундаментальной группе обыкновенного каспа, или, что приводит к тому же,

 ,

где  [3]. Данный изоморфизм тесно связан с вышеуказанной интерпретацией дополнения трилистника.

Связь с алгебраической К-теорией

править

Группа трилистника изоморфна второй группе Стейнберга[англ.] кольца целых чисел:

 .

А именно, в образующих   и   копредставление группы кос   принимает вид стандартного копредставления группы   с одним соотношением Стейнберга:

 .

Пролить свет на данный изоморфизм можно следующим образом[4].

Дополнение трилистника и фактор специальной линейной группы  , рассматриваемой как группа Ли, по решетке   гомеоморфны[5]:

 .

Универсальное накрытие

 

является гомоморфизмом групп Ли. Обозначим символом   прообраз подгруппы   относительно этого гомоморфизма. Иными словами, группа   является ядром композиции

 .

Данная композиция сама является универсальным накрытием, и следовательно, имеется следующая цепочка изоморфизмов:

 .

Получающийся из этой цепочки и универсального накрытия   эпиморфизм

 

переводит образующие   и   группы трилистника в элементарные матрицы[англ.]:

 ,
 .

Гомоморфизм   не является мономорфизмом. А именно, его ядро является бесконечным циклическим и порождается элементом[5]

 .

Свойства

править

Центр   группы трилистника, как и группы любого торического зацепления, является бесконечным циклическим, а именно, он порождён элементом

 .

В группе кос   такому элементу соответствует центральная коса  .

Как и для любого узла, абелианизация группы трилистника изоморфна первой группе гомологий дополнения трилистника и является бесконечной циклической:

 .

Гомоморфизм абелианизации   сопоставляет образующим   и   число  , а образующим   и   — числа   и  .

Коммутант   группы трилистника является свободной группой ранга два. Это связано с тем, что узел трилистник, как и любое торическое зацепление, является расслоённым[6]. В качестве двухэлементного базиса можно взять, например, элементы   и  [7].

Группа трилистника является линейной, то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, представление Бурау группы кос из трёх нитей является точным.

Факторгруппы

править

Модулярная группа

править

Факторгруппа группы трилистника по её центру изоморфна модулярной группе:

 .

Данный изоморфизм получается из теоремы о гомоморфизме, применённой к композиции

 

вышеприведённого эпиморфизма   и канонической проекцией на факторгруппу группы   по её двухэлементному центру  . Поскольку образующая   данного центра может быть представлена в виде

 ,

ядро полученного эпиморфизма порождено элементом  , и следовательно, совпадает с центром группы трилистника.

Такой эпиморфизм

 

является примером проективного представления группы трилистника.

См. также

править

Примечания

править

Литература

править
  • Кассель, К., Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
  • Милнор, Дж. Введение в алгебраическую K-теорию. — М.: Мир, 1974. — 199 с.
  • Магнус, В, Чандлер, Б. Развитие комбинаторной теории групп. Очерк истории развития идей = The History of Combinatorial Group Theory. A Case Study in the History of Ideas. — М.: Мир, 1985. — 256 с.
  • Murasugi, K, Kurpita, B. I. A Study of Braids. — Springer, 1999. — 277 с. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-0-7923-5767-4. — doi:10.1007/978-94-015-9319-9.

Ссылки

править